Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48844 / 50571
↖ ↑ ↗
← S 69.432481°
E 88.308106°		 ← 214.58 m → S 69.432481°
E 88.313599°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 69.434411°
E 88.308106°		 ← 214.56 m →
46 041 m²		 S 69.434411°
E 88.313599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745307922363281 y=0.771659851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745307922363281 × 216)
    floor (0.745307922363281 × 65536)
    floor (48844.5)     		tx = 48844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771659851074219 × 216)
    floor (0.771659851074219 × 65536)
    floor (50571.5)     		ty = 50571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48844 / 50571 ti = "16/48844/50571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48844/50571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48844 ÷ 216
    48844 ÷ 65536     		x = 0.74530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50571 ÷ 216
    50571 ÷ 65536     		y = 0.771652221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74530029296875 × 2 - 1) × π
    0.4906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54126720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771652221679688 × 2 - 1) × π
    -0.543304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70684124787172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54126720} λ = 1.54126720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70684124787172))-π/2
    2×atan(0.181438006088964)-π/2
    2×0.179485465077666-π/2
    0.358970930155333-1.57079632675     		φ = -1.21182540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54126720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.308106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21182540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.432481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48844 KachelY 50571 1.54126720 -1.21182540 88.308106 -69.432481
    Oben rechts KachelX + 1 48845 KachelY 50571 1.54136307 -1.21182540 88.313599 -69.432481
    Unten links KachelX 48844 KachelY + 1 50572 1.54126720 -1.21185908 88.308106 -69.434411
    Unten rechts KachelX + 1 48845 KachelY + 1 50572 1.54136307 -1.21185908 88.313599 -69.434411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21182540--1.21185908) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21182540--1.21185908) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54126720-1.54136307) × cos(-1.21182540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351310940573367 × 6371000     		do = 214.576425969405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54126720-1.54136307) × cos(-1.21185908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351279407176253 × 6371000     		du = 214.557165756101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21182540)-sin(-1.21185908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351310940573367-0.351279407176253)×R²
    abs(1.54136307-1.54126720)×3.1533397114647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1533397114647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1533397114647e-05×40589641000000     		ar = 46040.7303053623m²