Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48843 / 81357
↖ ↑ ↗
← S 39.802206°
W 45.848694°		 ← 234.65 m → S 39.802206°
W 45.845947°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
S 39.804316°
W 45.848694°		 ← 234.64 m →
55 042 m²		 S 39.804316°
W 45.845947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372646331787109 y=0.620708465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372646331787109 × 217)
    floor (0.372646331787109 × 131072)
    floor (48843.5)     		tx = 48843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620708465576172 × 217)
    floor (0.620708465576172 × 131072)
    floor (81357.5)     		ty = 81357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48843 / 81357 ti = "17/48843/81357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48843/81357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48843 ÷ 217
    48843 ÷ 131072     		x = 0.372642517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81357 ÷ 217
    81357 ÷ 131072     		y = 0.620704650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372642517089844 × 2 - 1) × π
    -0.254714965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.80021067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620704650878906 × 2 - 1) × π
    -0.241409301757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.758409688888908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80021067} λ = -0.80021067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758409688888908))-π/2
    2×atan(0.468410753823796)-π/2
    2×0.43805839062494-π/2
    0.876116781249879-1.57079632675     		φ = -0.69467955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80021067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.848694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69467955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.802206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48843 KachelY 81357 -0.80021067 -0.69467955 -45.848694 -39.802206
    Oben rechts KachelX + 1 48844 KachelY 81357 -0.80016273 -0.69467955 -45.845947 -39.802206
    Unten links KachelX 48843 KachelY + 1 81358 -0.80021067 -0.69471637 -45.848694 -39.804316
    Unten rechts KachelX + 1 48844 KachelY + 1 81358 -0.80016273 -0.69471637 -45.845947 -39.804316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69467955--0.69471637) × R
    3.68199999999375e-05 × 6371000     		dl = 234.580219999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69467955--0.69471637) × R
    3.68199999999375e-05 × 6371000     		dr = 234.580219999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80021067--0.80016273) × cos(-0.69467955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768258873867627 × 6371000     		do = 234.646035062433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80021067--0.80016273) × cos(-0.69471637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768235303418432 × 6371000     		du = 234.638836040545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69467955)-sin(-0.69471637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768258873867627-0.768235303418432)×R²
    abs(-0.80016273--0.80021067)×2.35704491949873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35704491949873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35704491949873e-05×40589641000000     		ar = 55042.4741591224m²