Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48840 / 81368
↖ ↑ ↗
← S 39.825413°
W 45.856934°		 ← 234.57 m → S 39.825413°
W 45.854187°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
S 39.827522°
W 45.856934°		 ← 234.56 m →
55 024 m²		 S 39.827522°
W 45.854187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372623443603516 y=0.620792388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372623443603516 × 217)
    floor (0.372623443603516 × 131072)
    floor (48840.5)     		tx = 48840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620792388916016 × 217)
    floor (0.620792388916016 × 131072)
    floor (81368.5)     		ty = 81368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48840 / 81368 ti = "17/48840/81368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48840/81368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48840 ÷ 217
    48840 ÷ 131072     		x = 0.37261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81368 ÷ 217
    81368 ÷ 131072     		y = 0.62078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80035448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62078857421875 × 2 - 1) × π
    -0.2415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.758936994784729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80035448} λ = -0.80035448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758936994784729))-π/2
    2×atan(0.468163823181353)-π/2
    2×0.43785587109495-π/2
    0.875711742189901-1.57079632675     		φ = -0.69508458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80035448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.856934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69508458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.825413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48840 KachelY 81368 -0.80035448 -0.69508458 -45.856934 -39.825413
    Oben rechts KachelX + 1 48841 KachelY 81368 -0.80030654 -0.69508458 -45.854187 -39.825413
    Unten links KachelX 48840 KachelY + 1 81369 -0.80035448 -0.69512140 -45.856934 -39.827522
    Unten rechts KachelX + 1 48841 KachelY + 1 81369 -0.80030654 -0.69512140 -45.854187 -39.827522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69508458--0.69512140) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dl = 234.580220000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69508458--0.69512140) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dr = 234.580220000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80035448--0.80030654) × cos(-0.69508458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767999535244415 × 6371000     		do = 234.566826371528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80035448--0.80030654) × cos(-0.69512140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767975953340128 × 6371000     		du = 234.55962385096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69508458)-sin(-0.69512140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767999535244415-0.767975953340128)×R²
    abs(-0.80030654--0.80035448)×2.35819042873064e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35819042873064e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35819042873064e-05×40589641000000     		ar = 55023.8929566369m²