Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48840 / 81289
↖ ↑ ↗
← S 39.658570°
W 45.856934°		 ← 235.14 m → S 39.658570°
W 45.854187°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
S 39.660685°
W 45.856934°		 ← 235.13 m →
55 292 m²		 S 39.660685°
W 45.854187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372623443603516 y=0.620189666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372623443603516 × 217)
    floor (0.372623443603516 × 131072)
    floor (48840.5)     		tx = 48840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620189666748047 × 217)
    floor (0.620189666748047 × 131072)
    floor (81289.5)     		ty = 81289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48840 / 81289 ti = "17/48840/81289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48840/81289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48840 ÷ 217
    48840 ÷ 131072     		x = 0.37261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81289 ÷ 217
    81289 ÷ 131072     		y = 0.620185852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80035448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620185852050781 × 2 - 1) × π
    -0.240371704101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.755149979714745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80035448} λ = -0.80035448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755149979714745))-π/2
    2×atan(0.469940127958539)-π/2
    2×0.439311846887013-π/2
    0.878623693774027-1.57079632675     		φ = -0.69217263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80035448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.856934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69217263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.658570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48840 KachelY 81289 -0.80035448 -0.69217263 -45.856934 -39.658570
    Oben rechts KachelX + 1 48841 KachelY 81289 -0.80030654 -0.69217263 -45.854187 -39.658570
    Unten links KachelX 48840 KachelY + 1 81290 -0.80035448 -0.69220954 -45.856934 -39.660685
    Unten rechts KachelX + 1 48841 KachelY + 1 81290 -0.80030654 -0.69220954 -45.854187 -39.660685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69217263--0.69220954) × R
    3.69100000000566e-05 × 6371000     		dl = 235.153610000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69217263--0.69220954) × R
    3.69100000000566e-05 × 6371000     		dr = 235.153610000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80035448--0.80030654) × cos(-0.69217263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769861236043188 × 6371000     		do = 235.135437715651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80035448--0.80030654) × cos(-0.69220954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769837679139302 × 6371000     		du = 235.12824283085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69217263)-sin(-0.69220954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769861236043188-0.769837679139302)×R²
    abs(-0.80030654--0.80035448)×2.35569038858907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35569038858907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35569038858907e-05×40589641000000     		ar = 55292.1010725393m²