Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48840 / 50634
↖ ↑ ↗
← S 69.553715°
E 88.286133°		 ← 213.39 m → S 69.553715°
E 88.291626°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 69.555634°
E 88.286133°		 ← 213.37 m →
45 527 m²		 S 69.555634°
E 88.291626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745246887207031 y=0.772621154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745246887207031 × 216)
    floor (0.745246887207031 × 65536)
    floor (48840.5)     		tx = 48840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772621154785156 × 216)
    floor (0.772621154785156 × 65536)
    floor (50634.5)     		ty = 50634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48840 / 50634 ti = "16/48840/50634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48840/50634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48840 ÷ 216
    48840 ÷ 65536     		x = 0.7452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50634 ÷ 216
    50634 ÷ 65536     		y = 0.772613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    0.490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54088370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.54522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71288129722385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54088370} λ = 1.54088370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71288129722385))-π/2
    2×atan(0.180345414552911)-π/2
    2×0.178427492414891-π/2
    0.356854984829781-1.57079632675     		φ = -1.21394134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54088370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21394134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.553715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48840 KachelY 50634 1.54088370 -1.21394134 88.286133 -69.553715
    Oben rechts KachelX + 1 48841 KachelY 50634 1.54097958 -1.21394134 88.291626 -69.553715
    Unten links KachelX 48840 KachelY + 1 50635 1.54088370 -1.21397483 88.286133 -69.555634
    Unten rechts KachelX + 1 48841 KachelY + 1 50635 1.54097958 -1.21397483 88.291626 -69.555634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21394134--1.21397483) × R
    3.34899999998584e-05 × 6371000     		dl = 213.364789999098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21394134--1.21397483) × R
    3.34899999998584e-05 × 6371000     		dr = 213.364789999098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54088370-1.54097958) × cos(-1.21394134) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349329088068449 × 6371000     		do = 213.388190453522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54088370-1.54097958) × cos(-1.21397483) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349297707739191 × 6371000     		du = 213.369021732952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21394134)-sin(-1.21397483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349329088068449-0.349297707739191)×R²
    abs(1.54097958-1.54088370)×3.13803292580905e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.13803292580905e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.13803292580905e-05×40589641000000     		ar = 45527.4814835585m²