Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48838 / 50580
↖ ↑ ↗
← S 69.449842°
E 88.275146°		 ← 214.43 m → S 69.449842°
E 88.280640°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
S 69.451770°
E 88.275146°		 ← 214.41 m →
45 967 m²		 S 69.451770°
E 88.280640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745216369628906 y=0.771797180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745216369628906 × 216)
    floor (0.745216369628906 × 65536)
    floor (48838.5)     		tx = 48838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771797180175781 × 216)
    floor (0.771797180175781 × 65536)
    floor (50580.5)     		ty = 50580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48838 / 50580 ti = "16/48838/50580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48838/50580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48838 ÷ 216
    48838 ÷ 65536     		x = 0.745208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50580 ÷ 216
    50580 ÷ 65536     		y = 0.77178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745208740234375 × 2 - 1) × π
    0.49041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54069195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.5435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70770411206488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54069195} λ = 1.54069195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70770411206488))-π/2
    2×atan(0.181281517254246)-π/2
    2×0.179333959469206-π/2
    0.358667918938413-1.57079632675     		φ = -1.21212841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54069195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.275146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21212841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.449842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48838 KachelY 50580 1.54069195 -1.21212841 88.275146 -69.449842
    Oben rechts KachelX + 1 48839 KachelY 50580 1.54078783 -1.21212841 88.280640 -69.449842
    Unten links KachelX 48838 KachelY + 1 50581 1.54069195 -1.21216206 88.275146 -69.451770
    Unten rechts KachelX + 1 48839 KachelY + 1 50581 1.54078783 -1.21216206 88.280640 -69.451770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21212841--1.21216206) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dl = 214.384149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21212841--1.21216206) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dr = 214.384149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54069195-1.54078783) × cos(-1.21212841) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.35102722865756 × 6371000     		do = 214.425502145628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54069195-1.54078783) × cos(-1.21216206) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350995719768106 × 6371000     		du = 214.406254893872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21212841)-sin(-1.21216206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35102722865756-0.350995719768106)×R²
    abs(1.54078783-1.54069195)×3.15088894544679e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15088894544679e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15088894544679e-05×40589641000000     		ar = 45967.365867421m²