Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48835 / 50653
↖ ↑ ↗
← S 69.590144°
E 88.258667°		 ← 213.02 m → S 69.590144°
E 88.264160°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
S 69.592059°
E 88.258667°		 ← 213.01 m →
45 368 m²		 S 69.592059°
E 88.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745170593261719 y=0.772911071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745170593261719 × 216)
    floor (0.745170593261719 × 65536)
    floor (48835.5)     		tx = 48835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772911071777344 × 216)
    floor (0.772911071777344 × 65536)
    floor (50653.5)     		ty = 50653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48835 / 50653 ti = "16/48835/50653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48835/50653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48835 ÷ 216
    48835 ÷ 65536     		x = 0.745162963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50653 ÷ 216
    50653 ÷ 65536     		y = 0.772903442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745162963867188 × 2 - 1) × π
    0.490325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54040433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772903442382812 × 2 - 1) × π
    -0.545806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71470289940941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54040433} λ = 1.54040433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71470289940941))-π/2
    2×atan(0.180017195984195)-π/2
    2×0.178109594500703-π/2
    0.356219189001406-1.57079632675     		φ = -1.21457714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54040433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.258667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21457714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.590144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48835 KachelY 50653 1.54040433 -1.21457714 88.258667 -69.590144
    Oben rechts KachelX + 1 48836 KachelY 50653 1.54050021 -1.21457714 88.264160 -69.590144
    Unten links KachelX 48835 KachelY + 1 50654 1.54040433 -1.21461057 88.258667 -69.592059
    Unten rechts KachelX + 1 48836 KachelY + 1 50654 1.54050021 -1.21461057 88.264160 -69.592059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21457714--1.21461057) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21457714--1.21461057) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54040433-1.54050021) × cos(-1.21457714) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348733272838046 × 6371000     		do = 213.024235838224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54040433-1.54050021) × cos(-1.21461057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.348701941311242 × 6371000     		du = 213.005096928705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21457714)-sin(-1.21461057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348733272838046-0.348701941311242)×R²
    abs(1.54050021-1.54040433)×3.13315268040681e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.13315268040681e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.13315268040681e-05×40589641000000     		ar = 45368.4025778863m²