Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48832 / 81216
↖ ↑ ↗
← S 39.504041°
W 45.878906°		 ← 235.66 m → S 39.504041°
W 45.876159°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
S 39.506160°
W 45.878906°		 ← 235.65 m →
55 521 m²		 S 39.506160°
W 45.876159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372562408447266 y=0.619632720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372562408447266 × 217)
    floor (0.372562408447266 × 131072)
    floor (48832.5)     		tx = 48832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619632720947266 × 217)
    floor (0.619632720947266 × 131072)
    floor (81216.5)     		ty = 81216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48832 / 81216 ti = "17/48832/81216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48832/81216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48832 ÷ 217
    48832 ÷ 131072     		x = 0.37255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81216 ÷ 217
    81216 ÷ 131072     		y = 0.61962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37255859375 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.75165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80073797} λ = -0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75165058604248))-π/2
    2×atan(0.471587514214055)-π/2
    2×0.440660374328583-π/2
    0.881320748657166-1.57079632675     		φ = -0.68947558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68947558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.504041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48832 KachelY 81216 -0.80073797 -0.68947558 -45.878906 -39.504041
    Oben rechts KachelX + 1 48833 KachelY 81216 -0.80069003 -0.68947558 -45.876159 -39.504041
    Unten links KachelX 48832 KachelY + 1 81217 -0.80073797 -0.68951256 -45.878906 -39.506160
    Unten rechts KachelX + 1 48833 KachelY + 1 81217 -0.80069003 -0.68951256 -45.876159 -39.506160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68947558--0.68951256) × R
    3.69800000000753e-05 × 6371000     		dl = 235.59958000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68947558--0.68951256) × R
    3.69800000000753e-05 × 6371000     		dr = 235.59958000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80073797--0.80069003) × cos(-0.68947558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771579721758282 × 6371000     		do = 235.660307486863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80073797--0.80069003) × cos(-0.68951256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771556197045764 × 6371000     		du = 235.653122434134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68947558)-sin(-0.68951256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771579721758282-0.771556197045764)×R²
    abs(-0.80069003--0.80073797)×2.35247125188742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35247125188742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35247125188742e-05×40589641000000     		ar = 55520.6230752212m²