Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48830 / 81350
↖ ↑ ↗
← S 39.787434°
W 45.884400°		 ← 234.70 m → S 39.787434°
W 45.881653°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
S 39.789545°
W 45.884400°		 ← 234.69 m →
55 084 m²		 S 39.789545°
W 45.881653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372547149658203 y=0.620655059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372547149658203 × 217)
    floor (0.372547149658203 × 131072)
    floor (48830.5)     		tx = 48830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620655059814453 × 217)
    floor (0.620655059814453 × 131072)
    floor (81350.5)     		ty = 81350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48830 / 81350 ti = "17/48830/81350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48830/81350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48830 ÷ 217
    48830 ÷ 131072     		x = 0.372543334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81350 ÷ 217
    81350 ÷ 131072     		y = 0.620651245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372543334960938 × 2 - 1) × π
    -0.254913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80083385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620651245117188 × 2 - 1) × π
    -0.241302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.758074130591568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80083385} λ = -0.80083385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758074130591568))-π/2
    2×atan(0.468567959313133)-π/2
    2×0.438187302288684-π/2
    0.876374604577368-1.57079632675     		φ = -0.69442172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80083385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.884400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69442172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.787434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48830 KachelY 81350 -0.80083385 -0.69442172 -45.884400 -39.787434
    Oben rechts KachelX + 1 48831 KachelY 81350 -0.80078591 -0.69442172 -45.881653 -39.787434
    Unten links KachelX 48830 KachelY + 1 81351 -0.80083385 -0.69445856 -45.884400 -39.789545
    Unten rechts KachelX + 1 48831 KachelY + 1 81351 -0.80078591 -0.69445856 -45.881653 -39.789545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69442172--0.69445856) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dl = 234.707639999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69442172--0.69445856) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dr = 234.707639999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80083385--0.80078591) × cos(-0.69442172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768423895441846 × 6371000     		do = 234.696436898855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80083385--0.80078591) × cos(-0.69445856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768400319487245 × 6371000     		du = 234.689236195474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69442172)-sin(-0.69445856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768423895441846-0.768400319487245)×R²
    abs(-0.80078591--0.80083385)×2.35759546006742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35759546006742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35759546006742e-05×40589641000000     		ar = 55084.2017970243m²