Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48829 / 50618
↖ ↑ ↗
← S 69.522990°
E 88.225708°		 ← 213.67 m → S 69.522990°
E 88.231201°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 69.524912°
E 88.225708°		 ← 213.65 m →
45 656 m²		 S 69.524912°
E 88.231201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745079040527344 y=0.772377014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745079040527344 × 216)
    floor (0.745079040527344 × 65536)
    floor (48829.5)     		tx = 48829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772377014160156 × 216)
    floor (0.772377014160156 × 65536)
    floor (50618.5)     		ty = 50618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48829 / 50618 ti = "16/48829/50618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48829/50618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48829 ÷ 216
    48829 ÷ 65536     		x = 0.745071411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50618 ÷ 216
    50618 ÷ 65536     		y = 0.772369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745071411132812 × 2 - 1) × π
    0.490142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.53982909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.54473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.711347316436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53982909} λ = 1.53982909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.711347316436))-π/2
    2×atan(0.18062227324768)-π/2
    2×0.178695617102536-π/2
    0.357391234205073-1.57079632675     		φ = -1.21340509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53982909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.225708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21340509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.522990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48829 KachelY 50618 1.53982909 -1.21340509 88.225708 -69.522990
    Oben rechts KachelX + 1 48830 KachelY 50618 1.53992496 -1.21340509 88.231201 -69.522990
    Unten links KachelX 48829 KachelY + 1 50619 1.53982909 -1.21343863 88.225708 -69.524912
    Unten rechts KachelX + 1 48830 KachelY + 1 50619 1.53992496 -1.21343863 88.231201 -69.524912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21340509--1.21343863) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21340509--1.21343863) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53982909-1.53992496) × cos(-1.21340509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349831504120985 × 6371000     		do = 213.672804277797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53982909-1.53992496) × cos(-1.21343863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349800083228344 × 6371000     		du = 213.65361278085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21340509)-sin(-1.21343863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349831504120985-0.349800083228344)×R²
    abs(1.53992496-1.53982909)×3.14208926410209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14208926410209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14208926410209e-05×40589641000000     		ar = 45656.2680379714m²