Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48828 / 81317
↖ ↑ ↗
← S 39.717751°
W 45.889893°		 ← 234.93 m → S 39.717751°
W 45.887146°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 39.719864°
W 45.889893°		 ← 234.93 m →
55 200 m²		 S 39.719864°
W 45.887146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372531890869141 y=0.620403289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372531890869141 × 217)
    floor (0.372531890869141 × 131072)
    floor (48828.5)     		tx = 48828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620403289794922 × 217)
    floor (0.620403289794922 × 131072)
    floor (81317.5)     		ty = 81317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48828 / 81317 ti = "17/48828/81317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48828/81317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48828 ÷ 217
    48828 ÷ 131072     		x = 0.372528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81317 ÷ 217
    81317 ÷ 131072     		y = 0.620399475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.25494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80092972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620399475097656 × 2 - 1) × π
    -0.240798950195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.756492212904106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80092972} λ = -0.80092972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756492212904106))-π/2
    2×atan(0.469309781852148)-π/2
    2×0.438795401561535-π/2
    0.87759080312307-1.57079632675     		φ = -0.69320552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80092972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69320552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.717751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48828 KachelY 81317 -0.80092972 -0.69320552 -45.889893 -39.717751
    Oben rechts KachelX + 1 48829 KachelY 81317 -0.80088178 -0.69320552 -45.887146 -39.717751
    Unten links KachelX 48828 KachelY + 1 81318 -0.80092972 -0.69324240 -45.889893 -39.719864
    Unten rechts KachelX + 1 48829 KachelY + 1 81318 -0.80088178 -0.69324240 -45.887146 -39.719864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69320552--0.69324240) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69320552--0.69324240) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80092972--0.80088178) × cos(-0.69320552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769201623411868 × 6371000     		do = 234.933975039617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80092972--0.80088178) × cos(-0.69324240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769178056341872 × 6371000     		du = 234.926777049824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69320552)-sin(-0.69324240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769201623411868-0.769178056341872)×R²
    abs(-0.80088178--0.80092972)×2.35670699962887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35670699962887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35670699962887e-05×40589641000000     		ar = 55199.8237890754m²