Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48827 / 81308
↖ ↑ ↗
← S 39.698734°
W 45.892639°		 ← 235 m → S 39.698734°
W 45.889893°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 39.700847°
W 45.892639°		 ← 234.99 m →
55 215 m²		 S 39.700847°
W 45.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372524261474609 y=0.620334625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372524261474609 × 217)
    floor (0.372524261474609 × 131072)
    floor (48827.5)     		tx = 48827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620334625244141 × 217)
    floor (0.620334625244141 × 131072)
    floor (81308.5)     		ty = 81308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48827 / 81308 ti = "17/48827/81308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48827/81308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48827 ÷ 217
    48827 ÷ 131072     		x = 0.372520446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81308 ÷ 217
    81308 ÷ 131072     		y = 0.620330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372520446777344 × 2 - 1) × π
    -0.254959106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.80097766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.24066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.756060780807526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80097766} λ = -0.80097766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756060780807526))-π/2
    2×atan(0.469512300838732)-π/2
    2×0.438961353566941-π/2
    0.877922707133882-1.57079632675     		φ = -0.69287362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80097766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.892639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69287362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.698734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48827 KachelY 81308 -0.80097766 -0.69287362 -45.892639 -39.698734
    Oben rechts KachelX + 1 48828 KachelY 81308 -0.80092972 -0.69287362 -45.889893 -39.698734
    Unten links KachelX 48827 KachelY + 1 81309 -0.80097766 -0.69291050 -45.892639 -39.700847
    Unten rechts KachelX + 1 48828 KachelY + 1 81309 -0.80092972 -0.69291050 -45.889893 -39.700847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69287362--0.69291050) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69287362--0.69291050) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80097766--0.80092972) × cos(-0.69287362) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.769413667183181 × 6371000     		do = 234.998738665927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80097766--0.80092972) × cos(-0.69291050) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.769390109529729 × 6371000     		du = 234.991543552189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69287362)-sin(-0.69291050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769413667183181-0.769390109529729)×R²
    abs(-0.80092972--0.80097766)×2.35576534517445e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35576534517445e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35576534517445e-05×40589641000000     		ar = 55215.041149421m²