Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48827 / 50611
↖ ↑ ↗
← S 69.509535°
E 88.214722°		 ← 213.83 m → S 69.509535°
E 88.220215°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
S 69.511457°
E 88.214722°		 ← 213.81 m →
45 717 m²		 S 69.511457°
E 88.220215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745048522949219 y=0.772270202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745048522949219 × 216)
    floor (0.745048522949219 × 65536)
    floor (48827.5)     		tx = 48827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772270202636719 × 216)
    floor (0.772270202636719 × 65536)
    floor (50611.5)     		ty = 50611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48827 / 50611 ti = "16/48827/50611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48827/50611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48827 ÷ 216
    48827 ÷ 65536     		x = 0.745040893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50611 ÷ 216
    50611 ÷ 65536     		y = 0.772262573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745040893554688 × 2 - 1) × π
    0.490081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53963734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772262573242188 × 2 - 1) × π
    -0.544525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71067619984132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53963734} λ = 1.53963734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71067619984132))-π/2
    2×atan(0.180743532537635)-π/2
    2×0.178813042874062-π/2
    0.357626085748125-1.57079632675     		φ = -1.21317024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53963734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.214722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21317024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.509535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48827 KachelY 50611 1.53963734 -1.21317024 88.214722 -69.509535
    Oben rechts KachelX + 1 48828 KachelY 50611 1.53973322 -1.21317024 88.220215 -69.509535
    Unten links KachelX 48827 KachelY + 1 50612 1.53963734 -1.21320380 88.214722 -69.511457
    Unten rechts KachelX + 1 48828 KachelY + 1 50612 1.53973322 -1.21320380 88.220215 -69.511457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21317024--1.21320380) × R
    3.35600000000991e-05 × 6371000     		dl = 213.810760000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21317024--1.21320380) × R
    3.35600000000991e-05 × 6371000     		dr = 213.810760000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53963734-1.53973322) × cos(-1.21317024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350051504919603 × 6371000     		do = 213.829479856226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53963734-1.53973322) × cos(-1.21320380) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350020068048437 × 6371000     		du = 213.810276596949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21317024)-sin(-1.21320380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350051504919603-0.350020068048437)×R²
    abs(1.53973322-1.53963734)×3.14368711654134e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.14368711654134e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.14368711654134e-05×40589641000000     		ar = 45716.9906710177m²