Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48825 / 50603
↖ ↑ ↗
← S 69.494146°
E 88.203735°		 ← 213.98 m → S 69.494146°
E 88.209229°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
S 69.496070°
E 88.203735°		 ← 213.96 m →
45 777 m²		 S 69.496070°
E 88.209229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745018005371094 y=0.772148132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745018005371094 × 216)
    floor (0.745018005371094 × 65536)
    floor (48825.5)     		tx = 48825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772148132324219 × 216)
    floor (0.772148132324219 × 65536)
    floor (50603.5)     		ty = 50603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48825 / 50603 ti = "16/48825/50603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48825/50603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48825 ÷ 216
    48825 ÷ 65536     		x = 0.745010375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50603 ÷ 216
    50603 ÷ 65536     		y = 0.772140502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745010375976562 × 2 - 1) × π
    0.490020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53944559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772140502929688 × 2 - 1) × π
    -0.544281005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7099092094474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53944559} λ = 1.53944559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7099092094474))-π/2
    2×atan(0.180882214267834)-π/2
    2×0.178947334178806-π/2
    0.357894668357612-1.57079632675     		φ = -1.21290166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53944559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.203735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21290166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.494146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48825 KachelY 50603 1.53944559 -1.21290166 88.203735 -69.494146
    Oben rechts KachelX + 1 48826 KachelY 50603 1.53954147 -1.21290166 88.209229 -69.494146
    Unten links KachelX 48825 KachelY + 1 50604 1.53944559 -1.21293524 88.203735 -69.496070
    Unten rechts KachelX + 1 48826 KachelY + 1 50604 1.53954147 -1.21293524 88.209229 -69.496070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21290166--1.21293524) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21290166--1.21293524) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53944559-1.53954147) × cos(-1.21290166) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.350303079356458 × 6371000     		do = 213.983154473805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53944559-1.53954147) × cos(-1.21293524) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.350271626908526 × 6371000     		du = 213.963941699436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21290166)-sin(-1.21293524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350303079356458-0.350271626908526)×R²
    abs(1.53954147-1.53944559)×3.14524479315126e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.14524479315126e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.14524479315126e-05×40589641000000     		ar = 45777.1114502996m²