Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48824 / 81319
↖ ↑ ↗
← S 39.721976°
W 45.900879°		 ← 234.92 m → S 39.721976°
W 45.898132°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
S 39.724089°
W 45.900879°		 ← 234.91 m →
55 181 m²		 S 39.724089°
W 45.898132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372501373291016 y=0.620418548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372501373291016 × 217)
    floor (0.372501373291016 × 131072)
    floor (48824.5)     		tx = 48824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620418548583984 × 217)
    floor (0.620418548583984 × 131072)
    floor (81319.5)     		ty = 81319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48824 / 81319 ti = "17/48824/81319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48824/81319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48824 ÷ 217
    48824 ÷ 131072     		x = 0.37249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81319 ÷ 217
    81319 ÷ 131072     		y = 0.620414733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620414733886719 × 2 - 1) × π
    -0.240829467773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.756588086703346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80112147} λ = -0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756588086703346))-π/2
    2×atan(0.46926478949717)-π/2
    2×0.438758529550146-π/2
    0.877517059100291-1.57079632675     		φ = -0.69327927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69327927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.721976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48824 KachelY 81319 -0.80112147 -0.69327927 -45.900879 -39.721976
    Oben rechts KachelX + 1 48825 KachelY 81319 -0.80107353 -0.69327927 -45.898132 -39.721976
    Unten links KachelX 48824 KachelY + 1 81320 -0.80112147 -0.69331614 -45.900879 -39.724089
    Unten rechts KachelX + 1 48825 KachelY + 1 81320 -0.80107353 -0.69331614 -45.898132 -39.724089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69327927--0.69331614) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dl = 234.898769999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69327927--0.69331614) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dr = 234.898769999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80112147--0.80107353) × cos(-0.69327927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769154494616319 × 6371000     		do = 234.919580692361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80112147--0.80107353) × cos(-0.69331614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769130931845179 × 6371000     		du = 234.912384015549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69327927)-sin(-0.69331614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769154494616319-0.769130931845179)×R²
    abs(-0.80107353--0.80112147)×2.35627711392405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35627711392405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35627711392405e-05×40589641000000     		ar = 55181.4753144834m²