Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48824 / 81240
↖ ↑ ↗
← S 39.554883°
W 45.900879°		 ← 235.49 m → S 39.554883°
W 45.898132°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 39.557000°
W 45.900879°		 ← 235.48 m →
55 450 m²		 S 39.557000°
W 45.898132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372501373291016 y=0.619815826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372501373291016 × 217)
    floor (0.372501373291016 × 131072)
    floor (48824.5)     		tx = 48824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619815826416016 × 217)
    floor (0.619815826416016 × 131072)
    floor (81240.5)     		ty = 81240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48824 / 81240 ti = "17/48824/81240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48824/81240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48824 ÷ 217
    48824 ÷ 131072     		x = 0.37249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81240 ÷ 217
    81240 ÷ 131072     		y = 0.61981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61981201171875 × 2 - 1) × π
    -0.2396240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.752801071633362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80112147} λ = -0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752801071633362))-π/2
    2×atan(0.471045271555106)-π/2
    2×0.440216691087241-π/2
    0.880433382174482-1.57079632675     		φ = -0.69036294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69036294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.554883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48824 KachelY 81240 -0.80112147 -0.69036294 -45.900879 -39.554883
    Oben rechts KachelX + 1 48825 KachelY 81240 -0.80107353 -0.69036294 -45.898132 -39.554883
    Unten links KachelX 48824 KachelY + 1 81241 -0.80112147 -0.69039990 -45.900879 -39.557000
    Unten rechts KachelX + 1 48825 KachelY + 1 81241 -0.80107353 -0.69039990 -45.898132 -39.557000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69036294--0.69039990) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69036294--0.69039990) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80112147--0.80107353) × cos(-0.69036294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771014939400902 × 6371000     		do = 235.487808417421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80112147--0.80107353) × cos(-0.69039990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770991402115886 × 6371000     		du = 235.480619524728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69036294)-sin(-0.69039990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771014939400902-0.770991402115886)×R²
    abs(-0.80107353--0.80112147)×2.35372850154736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35372850154736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35372850154736e-05×40589641000000     		ar = 55449.9765159919m²