Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48823 / 81337
↖ ↑ ↗
← S 39.759991°
W 45.903625°		 ← 234.74 m → S 39.759991°
W 45.900879°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
S 39.762103°
W 45.903625°		 ← 234.73 m →
55 110 m²		 S 39.762103°
W 45.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372493743896484 y=0.620555877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372493743896484 × 217)
    floor (0.372493743896484 × 131072)
    floor (48823.5)     		tx = 48823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620555877685547 × 217)
    floor (0.620555877685547 × 131072)
    floor (81337.5)     		ty = 81337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48823 / 81337 ti = "17/48823/81337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48823/81337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48823 ÷ 217
    48823 ÷ 131072     		x = 0.372489929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81337 ÷ 217
    81337 ÷ 131072     		y = 0.620552062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372489929199219 × 2 - 1) × π
    -0.255020141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.80116940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620552062988281 × 2 - 1) × π
    -0.241104125976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.757450950896507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80116940} λ = -0.80116940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757450950896507))-π/2
    2×atan(0.468860052354907)-π/2
    2×0.438426783112613-π/2
    0.876853566225225-1.57079632675     		φ = -0.69394276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80116940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.903625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69394276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.759991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48823 KachelY 81337 -0.80116940 -0.69394276 -45.903625 -39.759991
    Oben rechts KachelX + 1 48824 KachelY 81337 -0.80112147 -0.69394276 -45.900879 -39.759991
    Unten links KachelX 48823 KachelY + 1 81338 -0.80116940 -0.69397961 -45.903625 -39.762103
    Unten rechts KachelX + 1 48824 KachelY + 1 81338 -0.80112147 -0.69397961 -45.900879 -39.762103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69394276--0.69397961) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dl = 234.771349999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69394276--0.69397961) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dr = 234.771349999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80116940--0.80112147) × cos(-0.69394276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768730313519594 × 6371000     		do = 234.741049059023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80116940--0.80112147) × cos(-0.69397961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768706744730227 × 6371000     		du = 234.733852045658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69394276)-sin(-0.69397961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768730313519594-0.768706744730227)×R²
    abs(-0.80112147--0.80116940)×2.35687893666015e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35687893666015e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35687893666015e-05×40589641000000     		ar = 55109.6281679377m²