Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48820 / 81332
↖ ↑ ↗
← S 39.749433°
W 45.911865°		 ← 234.78 m → S 39.749433°
W 45.909119°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 39.751545°
W 45.911865°		 ← 234.77 m →
55 133 m²		 S 39.751545°
W 45.909119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372470855712891 y=0.620517730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372470855712891 × 217)
    floor (0.372470855712891 × 131072)
    floor (48820.5)     		tx = 48820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620517730712891 × 217)
    floor (0.620517730712891 × 131072)
    floor (81332.5)     		ty = 81332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48820 / 81332 ti = "17/48820/81332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48820/81332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48820 ÷ 217
    48820 ÷ 131072     		x = 0.372467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81332 ÷ 217
    81332 ÷ 131072     		y = 0.620513916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.25506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80131321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.24102783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.757211266398407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80131321} λ = -0.80131321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757211266398407))-π/2
    2×atan(0.468972444310001)-π/2
    2×0.438518916543384-π/2
    0.877037833086768-1.57079632675     		φ = -0.69375849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80131321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.911865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69375849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.749433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48820 KachelY 81332 -0.80131321 -0.69375849 -45.911865 -39.749433
    Oben rechts KachelX + 1 48821 KachelY 81332 -0.80126528 -0.69375849 -45.909119 -39.749433
    Unten links KachelX 48820 KachelY + 1 81333 -0.80131321 -0.69379535 -45.911865 -39.751545
    Unten rechts KachelX + 1 48821 KachelY + 1 81333 -0.80126528 -0.69379535 -45.909119 -39.751545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69375849--0.69379535) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69375849--0.69379535) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80131321--0.80126528) × cos(-0.69375849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768848154596272 × 6371000     		do = 234.777033249415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80131321--0.80126528) × cos(-0.69379535) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768824584632575 × 6371000     		du = 234.769835877454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69375849)-sin(-0.69379535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768848154596272-0.768824584632575)×R²
    abs(-0.80126528--0.80131321)×2.3569963696346e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3569963696346e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3569963696346e-05×40589641000000     		ar = 55133.0335982511m²