Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48820 / 81300
↖ ↑ ↗
← S 39.681826°
W 45.911865°		 ← 235.01 m → S 39.681826°
W 45.909119°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
S 39.683940°
W 45.911865°		 ← 235 m →
55 232 m²		 S 39.683940°
W 45.909119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372470855712891 y=0.620273590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372470855712891 × 217)
    floor (0.372470855712891 × 131072)
    floor (48820.5)     		tx = 48820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620273590087891 × 217)
    floor (0.620273590087891 × 131072)
    floor (81300.5)     		ty = 81300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48820 / 81300 ti = "17/48820/81300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48820/81300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48820 ÷ 217
    48820 ÷ 131072     		x = 0.372467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81300 ÷ 217
    81300 ÷ 131072     		y = 0.620269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.25506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80131321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.24053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.755677285610565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80131321} λ = -0.80131321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755677285610565))-π/2
    2×atan(0.469692391080682)-π/2
    2×0.439108904858949-π/2
    0.878217809717898-1.57079632675     		φ = -0.69257852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80131321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.911865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69257852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.681826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48820 KachelY 81300 -0.80131321 -0.69257852 -45.911865 -39.681826
    Oben rechts KachelX + 1 48821 KachelY 81300 -0.80126528 -0.69257852 -45.909119 -39.681826
    Unten links KachelX 48820 KachelY + 1 81301 -0.80131321 -0.69261541 -45.911865 -39.683940
    Unten rechts KachelX + 1 48821 KachelY + 1 81301 -0.80126528 -0.69261541 -45.909119 -39.683940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69257852--0.69261541) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dl = 235.026190000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69257852--0.69261541) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dr = 235.026190000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80131321--0.80126528) × cos(-0.69257852) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769602129045314 × 6371000     		do = 235.007268417743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80131321--0.80126528) × cos(-0.69261541) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769578573380989 × 6371000     		du = 235.000075412267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69257852)-sin(-0.69261541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769602129045314-0.769578573380989)×R²
    abs(-0.80126528--0.80131321)×2.35556643249923e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35556643249923e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35556643249923e-05×40589641000000     		ar = 55232.0176526214m²