Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48819 / 51002
↖ ↑ ↗
← S 70.248317°
E 88.170776°		 ← 206.43 m → S 70.248317°
E 88.176270°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 70.250173°
E 88.170776°		 ← 206.42 m →
42 610 m²		 S 70.250173°
E 88.176270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744926452636719 y=0.778236389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744926452636719 × 216)
    floor (0.744926452636719 × 65536)
    floor (48819.5)     		tx = 48819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778236389160156 × 216)
    floor (0.778236389160156 × 65536)
    floor (51002.5)     		ty = 51002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48819 / 51002 ti = "16/48819/51002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48819/51002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48819 ÷ 216
    48819 ÷ 65536     		x = 0.744918823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51002 ÷ 216
    51002 ÷ 65536     		y = 0.778228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744918823242188 × 2 - 1) × π
    0.489837646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53887035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.55645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74816285534421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53887035} λ = 1.53887035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74816285534421))-π/2
    2×atan(0.174093484753896)-π/2
    2×0.172365953103545-π/2
    0.34473190620709-1.57079632675     		φ = -1.22606442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53887035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.170776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22606442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.248317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48819 KachelY 51002 1.53887035 -1.22606442 88.170776 -70.248317
    Oben rechts KachelX + 1 48820 KachelY 51002 1.53896623 -1.22606442 88.176270 -70.248317
    Unten links KachelX 48819 KachelY + 1 51003 1.53887035 -1.22609682 88.170776 -70.250173
    Unten rechts KachelX + 1 48820 KachelY + 1 51003 1.53896623 -1.22609682 88.176270 -70.250173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22606442--1.22609682) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dl = 206.420400000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22606442--1.22609682) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dr = 206.420400000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53887035-1.53896623) × cos(-1.22606442) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337944369162712 × 6371000     		do = 206.433818060574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53887035-1.53896623) × cos(-1.22609682) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337913875204118 × 6371000     		du = 206.415190780835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22606442)-sin(-1.22609682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337944369162712-0.337913875204118)×R²
    abs(1.53896623-1.53887035)×3.04939585942798e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.04939585942798e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.04939585942798e-05×40589641000000     		ar = 42610.2287764119m²