Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48817 / 81713
↖ ↑ ↗
← S 40.549287°
W 45.920105°		 ← 232.03 m → S 40.549287°
W 45.917359°		 →
↑
232.10 m
↓
↑
232.10 m
↓
S 40.551374°
W 45.920105°		 ← 232.02 m →
53 852 m²		 S 40.551374°
W 45.917359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372447967529297 y=0.623424530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372447967529297 × 217)
    floor (0.372447967529297 × 131072)
    floor (48817.5)     		tx = 48817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623424530029297 × 217)
    floor (0.623424530029297 × 131072)
    floor (81713.5)     		ty = 81713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48817 / 81713 ti = "17/48817/81713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48817/81713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48817 ÷ 217
    48817 ÷ 131072     		x = 0.372444152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81713 ÷ 217
    81713 ÷ 131072     		y = 0.623420715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372444152832031 × 2 - 1) × π
    -0.255111694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80145702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623420715332031 × 2 - 1) × π
    -0.246841430664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.775475225153648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80145702} λ = -0.80145702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775475225153648))-π/2
    2×atan(0.460484894988043)-π/2
    2×0.431538877489151-π/2
    0.863077754978303-1.57079632675     		φ = -0.70771857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80145702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.920105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70771857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.549287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48817 KachelY 81713 -0.80145702 -0.70771857 -45.920105 -40.549287
    Oben rechts KachelX + 1 48818 KachelY 81713 -0.80140909 -0.70771857 -45.917359 -40.549287
    Unten links KachelX 48817 KachelY + 1 81714 -0.80145702 -0.70775500 -45.920105 -40.551374
    Unten rechts KachelX + 1 48818 KachelY + 1 81714 -0.80140909 -0.70775500 -45.917359 -40.551374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70771857--0.70775500) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dl = 232.095529999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70771857--0.70775500) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dr = 232.095529999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80145702--0.80140909) × cos(-0.70771857) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.759847014214008 × 6371000     		do = 232.028426749433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80145702--0.80140909) × cos(-0.70775500) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.759823330496613 × 6371000     		du = 232.021194641411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70771857)-sin(-0.70775500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759847014214008-0.759823330496613)×R²
    abs(-0.80140909--0.80145702)×2.36837173949178e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36837173949178e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36837173949178e-05×40589641000000     		ar = 53851.9214175208m²