Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48817 / 81647
↖ ↑ ↗
← S 40.411405°
W 45.920105°		 ← 232.51 m → S 40.411405°
W 45.917359°		 →
↑
232.54 m
↓
↑
232.54 m
↓
S 40.413496°
W 45.920105°		 ← 232.50 m →
54 066 m²		 S 40.413496°
W 45.917359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372447967529297 y=0.622920989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372447967529297 × 217)
    floor (0.372447967529297 × 131072)
    floor (48817.5)     		tx = 48817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622920989990234 × 217)
    floor (0.622920989990234 × 131072)
    floor (81647.5)     		ty = 81647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48817 / 81647 ti = "17/48817/81647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48817/81647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48817 ÷ 217
    48817 ÷ 131072     		x = 0.372444152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81647 ÷ 217
    81647 ÷ 131072     		y = 0.622917175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372444152832031 × 2 - 1) × π
    -0.255111694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80145702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622917175292969 × 2 - 1) × π
    -0.245834350585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.772311389778725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80145702} λ = -0.80145702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772311389778725))-π/2
    2×atan(0.461944100514253)-π/2
    2×0.432742128767964-π/2
    0.865484257535929-1.57079632675     		φ = -0.70531207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80145702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.920105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70531207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.411405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48817 KachelY 81647 -0.80145702 -0.70531207 -45.920105 -40.411405
    Oben rechts KachelX + 1 48818 KachelY 81647 -0.80140909 -0.70531207 -45.917359 -40.411405
    Unten links KachelX 48817 KachelY + 1 81648 -0.80145702 -0.70534857 -45.920105 -40.413496
    Unten rechts KachelX + 1 48818 KachelY + 1 81648 -0.80140909 -0.70534857 -45.917359 -40.413496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70531207--0.70534857) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dl = 232.541499999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70531207--0.70534857) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dr = 232.541499999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80145702--0.80140909) × cos(-0.70531207) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.761409282762368 × 6371000     		do = 232.505484244765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80145702--0.80140909) × cos(-0.70534857) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.761385620346375 × 6371000     		du = 232.498258641382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70531207)-sin(-0.70534857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761409282762368-0.761385620346375)×R²
    abs(-0.80140909--0.80145702)×2.36624159929422e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36624159929422e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36624159929422e-05×40589641000000     		ar = 54066.3339441448m²