Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48816 / 81520
↖ ↑ ↗
← S 40.145289°
W 45.922851°		 ← 233.47 m → S 40.145289°
W 45.920105°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 40.147389°
W 45.922851°		 ← 233.46 m →
54 499 m²		 S 40.147389°
W 45.920105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372440338134766 y=0.621952056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372440338134766 × 217)
    floor (0.372440338134766 × 131072)
    floor (48816.5)     		tx = 48816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621952056884766 × 217)
    floor (0.621952056884766 × 131072)
    floor (81520.5)     		ty = 81520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48816 / 81520 ti = "17/48816/81520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48816/81520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48816 ÷ 217
    48816 ÷ 131072     		x = 0.3724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81520 ÷ 217
    81520 ÷ 131072     		y = 0.6219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.766223403526978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80150496} λ = -0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766223403526978))-π/2
    2×atan(0.464764987896383)-π/2
    2×0.435064424718223-π/2
    0.870128849436445-1.57079632675     		φ = -0.70066748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70066748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.145289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48816 KachelY 81520 -0.80150496 -0.70066748 -45.922851 -40.145289
    Oben rechts KachelX + 1 48817 KachelY 81520 -0.80145702 -0.70066748 -45.920105 -40.145289
    Unten links KachelX 48816 KachelY + 1 81521 -0.80150496 -0.70070412 -45.922851 -40.147389
    Unten rechts KachelX + 1 48817 KachelY + 1 81521 -0.80145702 -0.70070412 -45.920105 -40.147389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70066748--0.70070412) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70066748--0.70070412) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80150496--0.80145702) × cos(-0.70066748) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.764412014514649 × 6371000     		do = 233.471105198415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80150496--0.80145702) × cos(-0.70070412) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.764388391165408 × 6371000     		du = 233.463890019492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70066748)-sin(-0.70070412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764412014514649-0.764388391165408)×R²
    abs(-0.80145702--0.80150496)×2.36233492409976e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36233492409976e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36233492409976e-05×40589641000000     		ar = 54499.1211012489m²