Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48816 / 81456
↖ ↑ ↗
← S 40.010787°
W 45.922851°		 ← 233.93 m → S 40.010787°
W 45.920105°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
S 40.012891°
W 45.922851°		 ← 233.93 m →
54 726 m²		 S 40.012891°
W 45.920105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372440338134766 y=0.621463775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372440338134766 × 217)
    floor (0.372440338134766 × 131072)
    floor (48816.5)     		tx = 48816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621463775634766 × 217)
    floor (0.621463775634766 × 131072)
    floor (81456.5)     		ty = 81456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48816 / 81456 ti = "17/48816/81456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48816/81456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48816 ÷ 217
    48816 ÷ 131072     		x = 0.3724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81456 ÷ 217
    81456 ÷ 131072     		y = 0.6214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.763155441951294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80150496} λ = -0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763155441951294))-π/2
    2×atan(0.466193058533765)-π/2
    2×0.436238177447937-π/2
    0.872476354895873-1.57079632675     		φ = -0.69831997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69831997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.010787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48816 KachelY 81456 -0.80150496 -0.69831997 -45.922851 -40.010787
    Oben rechts KachelX + 1 48817 KachelY 81456 -0.80145702 -0.69831997 -45.920105 -40.010787
    Unten links KachelX 48816 KachelY + 1 81457 -0.80150496 -0.69835669 -45.922851 -40.012891
    Unten rechts KachelX + 1 48817 KachelY + 1 81457 -0.80145702 -0.69835669 -45.920105 -40.012891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69831997--0.69835669) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69831997--0.69835669) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80150496--0.80145702) × cos(-0.69831997) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.765923412432855 × 6371000     		do = 233.932725026018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80150496--0.80145702) × cos(-0.69835669) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.765899803460028 × 6371000     		du = 233.925514238022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69831997)-sin(-0.69835669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765923412432855-0.765899803460028)×R²
    abs(-0.80145702--0.80150496)×2.36089728267164e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36089728267164e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36089728267164e-05×40589641000000     		ar = 54726.1081116545m²