Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48815 / 81331
↖ ↑ ↗
← S 39.747322°
W 45.925598°		 ← 234.83 m → S 39.747322°
W 45.922851°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
S 39.749433°
W 45.925598°		 ← 234.83 m →
55 131 m²		 S 39.749433°
W 45.922851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372432708740234 y=0.620510101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372432708740234 × 217)
    floor (0.372432708740234 × 131072)
    floor (48815.5)     		tx = 48815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620510101318359 × 217)
    floor (0.620510101318359 × 131072)
    floor (81331.5)     		ty = 81331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48815 / 81331 ti = "17/48815/81331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48815/81331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48815 ÷ 217
    48815 ÷ 131072     		x = 0.372428894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81331 ÷ 217
    81331 ÷ 131072     		y = 0.620506286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372428894042969 × 2 - 1) × π
    -0.255142211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.80155290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620506286621094 × 2 - 1) × π
    -0.241012573242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.757163329498787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80155290} λ = -0.80155290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757163329498787))-π/2
    2×atan(0.468994925933834)-π/2
    2×0.438537344924163-π/2
    0.877074689848326-1.57079632675     		φ = -0.69372164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80155290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.925598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69372164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.747322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48815 KachelY 81331 -0.80155290 -0.69372164 -45.925598 -39.747322
    Oben rechts KachelX + 1 48816 KachelY 81331 -0.80150496 -0.69372164 -45.922851 -39.747322
    Unten links KachelX 48815 KachelY + 1 81332 -0.80155290 -0.69375849 -45.925598 -39.749433
    Unten rechts KachelX + 1 48816 KachelY + 1 81332 -0.80150496 -0.69375849 -45.922851 -39.749433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69372164--0.69375849) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dl = 234.771349999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69372164--0.69375849) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dr = 234.771349999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80155290--0.80150496) × cos(-0.69372164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768871717121334 × 6371000     		do = 234.8332131667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80155290--0.80150496) × cos(-0.69375849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768848154596272 × 6371000     		du = 234.826016565047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69372164)-sin(-0.69375849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768871717121334-0.768848154596272)×R²
    abs(-0.80150496--0.80155290)×2.3562525062748e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3562525062748e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3562525062748e-05×40589641000000     		ar = 55131.2657083685m²