Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48814 / 81334
↖ ↑ ↗
← S 39.753657°
W 45.928345°		 ← 234.81 m → S 39.753657°
W 45.925598°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 39.755769°
W 45.928345°		 ← 234.80 m →
55 141 m²		 S 39.755769°
W 45.925598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372425079345703 y=0.620532989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372425079345703 × 217)
    floor (0.372425079345703 × 131072)
    floor (48814.5)     		tx = 48814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620532989501953 × 217)
    floor (0.620532989501953 × 131072)
    floor (81334.5)     		ty = 81334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48814 / 81334 ti = "17/48814/81334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48814/81334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48814 ÷ 217
    48814 ÷ 131072     		x = 0.372421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81334 ÷ 217
    81334 ÷ 131072     		y = 0.620529174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372421264648438 × 2 - 1) × π
    -0.255157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80160084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620529174804688 × 2 - 1) × π
    -0.241058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.757307140197647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80160084} λ = -0.80160084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757307140197647))-π/2
    2×atan(0.468927484295305)-π/2
    2×0.438482061476427-π/2
    0.876964122952855-1.57079632675     		φ = -0.69383220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80160084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.928345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69383220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.753657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48814 KachelY 81334 -0.80160084 -0.69383220 -45.928345 -39.753657
    Oben rechts KachelX + 1 48815 KachelY 81334 -0.80155290 -0.69383220 -45.925598 -39.753657
    Unten links KachelX 48814 KachelY + 1 81335 -0.80160084 -0.69386906 -45.928345 -39.755769
    Unten rechts KachelX + 1 48815 KachelY + 1 81335 -0.80155290 -0.69386906 -45.925598 -39.755769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69383220--0.69386906) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69383220--0.69386906) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80160084--0.80155290) × cos(-0.69383220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768801020019189 × 6371000     		do = 234.811620451962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80160084--0.80155290) × cos(-0.69386906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768777447966666 × 6371000     		du = 234.804420940376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69383220)-sin(-0.69386906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768801020019189-0.768777447966666)×R²
    abs(-0.80155290--0.80160084)×2.35720525226801e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35720525226801e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35720525226801e-05×40589641000000     		ar = 55141.1556350669m²