Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48814 / 81326
↖ ↑ ↗
← S 39.736763°
W 45.928345°		 ← 234.87 m → S 39.736763°
W 45.925598°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 39.738874°
W 45.928345°		 ← 234.86 m →
55 155 m²		 S 39.738874°
W 45.925598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372425079345703 y=0.620471954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372425079345703 × 217)
    floor (0.372425079345703 × 131072)
    floor (48814.5)     		tx = 48814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620471954345703 × 217)
    floor (0.620471954345703 × 131072)
    floor (81326.5)     		ty = 81326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48814 / 81326 ti = "17/48814/81326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48814/81326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48814 ÷ 217
    48814 ÷ 131072     		x = 0.372421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81326 ÷ 217
    81326 ÷ 131072     		y = 0.620468139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372421264648438 × 2 - 1) × π
    -0.255157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80160084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620468139648438 × 2 - 1) × π
    -0.240936279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.756923645000687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80160084} λ = -0.80160084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756923645000687))-π/2
    2×atan(0.469107350219909)-π/2
    2×0.438629495300759-π/2
    0.877258990601518-1.57079632675     		φ = -0.69353734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80160084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.928345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69353734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.736763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48814 KachelY 81326 -0.80160084 -0.69353734 -45.928345 -39.736763
    Oben rechts KachelX + 1 48815 KachelY 81326 -0.80155290 -0.69353734 -45.925598 -39.736763
    Unten links KachelX 48814 KachelY + 1 81327 -0.80160084 -0.69357420 -45.928345 -39.738874
    Unten rechts KachelX + 1 48815 KachelY + 1 81327 -0.80155290 -0.69357420 -45.925598 -39.738874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69353734--0.69357420) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69353734--0.69357420) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80160084--0.80155290) × cos(-0.69353734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768989546048054 × 6371000     		do = 234.869201153837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80160084--0.80155290) × cos(-0.69357420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768965982352172 × 6371000     		du = 234.862004194585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69353734)-sin(-0.69357420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768989546048054-0.768965982352172)×R²
    abs(-0.80155290--0.80160084)×2.35636958819674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35636958819674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35636958819674e-05×40589641000000     		ar = 55154.6779023004m²