Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48814 / 50602
↖ ↑ ↗
← S 69.492222°
E 88.143310°		 ← 214 m → S 69.492222°
E 88.148804°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
S 69.494146°
E 88.143310°		 ← 213.98 m →
45 795 m²		 S 69.494146°
E 88.148804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744850158691406 y=0.772132873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744850158691406 × 216)
    floor (0.744850158691406 × 65536)
    floor (48814.5)     		tx = 48814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772132873535156 × 216)
    floor (0.772132873535156 × 65536)
    floor (50602.5)     		ty = 50602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48814 / 50602 ti = "16/48814/50602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48814/50602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48814 ÷ 216
    48814 ÷ 65536     		x = 0.744842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50602 ÷ 216
    50602 ÷ 65536     		y = 0.772125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744842529296875 × 2 - 1) × π
    0.48968505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53839098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.54425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70981333564816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53839098} λ = 1.53839098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70981333564816))-π/2
    2×atan(0.180899556964272)-π/2
    2×0.178964127376418-π/2
    0.357928254752837-1.57079632675     		φ = -1.21286807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53839098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.143310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21286807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.492222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48814 KachelY 50602 1.53839098 -1.21286807 88.143310 -69.492222
    Oben rechts KachelX + 1 48815 KachelY 50602 1.53848686 -1.21286807 88.148804 -69.492222
    Unten links KachelX 48814 KachelY + 1 50603 1.53839098 -1.21290166 88.143310 -69.494146
    Unten rechts KachelX + 1 48815 KachelY + 1 50603 1.53848686 -1.21290166 88.148804 -69.494146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21286807--1.21290166) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dl = 214.00188999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21286807--1.21290166) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dr = 214.00188999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53839098-1.53848686) × cos(-1.21286807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350334540775628 × 6371000     		do = 214.002372727773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53839098-1.53848686) × cos(-1.21290166) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350303079356458 × 6371000     		du = 213.983154473309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21286807)-sin(-1.21290166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350334540775628-0.350303079356458)×R²
    abs(1.53848686-1.53839098)×3.146141917032e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.146141917032e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.146141917032e-05×40589641000000     		ar = 45794.8558607172m²