Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48813 / 81765
↖ ↑ ↗
← S 40.657722°
W 45.931091°		 ← 231.65 m → S 40.657722°
W 45.928345°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
S 40.659806°
W 45.931091°		 ← 231.65 m →
53 676 m²		 S 40.659806°
W 45.928345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372417449951172 y=0.623821258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372417449951172 × 217)
    floor (0.372417449951172 × 131072)
    floor (48813.5)     		tx = 48813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623821258544922 × 217)
    floor (0.623821258544922 × 131072)
    floor (81765.5)     		ty = 81765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48813 / 81765 ti = "17/48813/81765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48813/81765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48813 ÷ 217
    48813 ÷ 131072     		x = 0.372413635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81765 ÷ 217
    81765 ÷ 131072     		y = 0.623817443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372413635253906 × 2 - 1) × π
    -0.255172729492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.80164877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623817443847656 × 2 - 1) × π
    -0.247634887695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.777967943933891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80164877} λ = -0.80164877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777967943933891))-π/2
    2×atan(0.45933846509957)-π/2
    2×0.430592602531414-π/2
    0.861185205062828-1.57079632675     		φ = -0.70961112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80164877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.931091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70961112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.657722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48813 KachelY 81765 -0.80164877 -0.70961112 -45.931091 -40.657722
    Oben rechts KachelX + 1 48814 KachelY 81765 -0.80160084 -0.70961112 -45.928345 -40.657722
    Unten links KachelX 48813 KachelY + 1 81766 -0.80164877 -0.70964749 -45.931091 -40.659806
    Unten rechts KachelX + 1 48814 KachelY + 1 81766 -0.80160084 -0.70964749 -45.928345 -40.659806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70961112--0.70964749) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dl = 231.71327000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70961112--0.70964749) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dr = 231.71327000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80164877--0.80160084) × cos(-0.70961112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.758615303758351 × 6371000     		do = 231.652309144858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80164877--0.80160084) × cos(-0.70964749) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.758591606790098 × 6371000     		du = 231.645072990528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70961112)-sin(-0.70964749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758615303758351-0.758591606790098)×R²
    abs(-0.80160084--0.80164877)×2.36969682528843e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36969682528843e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36969682528843e-05×40589641000000     		ar = 53676.0757045359m²