Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48812 / 81268
↖ ↑ ↗
← S 39.614152°
W 45.933838°		 ← 235.29 m → S 39.614152°
W 45.931091°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
S 39.616268°
W 45.933838°		 ← 235.28 m →
55 358 m²		 S 39.616268°
W 45.931091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372409820556641 y=0.620029449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372409820556641 × 217)
    floor (0.372409820556641 × 131072)
    floor (48812.5)     		tx = 48812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620029449462891 × 217)
    floor (0.620029449462891 × 131072)
    floor (81268.5)     		ty = 81268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48812 / 81268 ti = "17/48812/81268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48812/81268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48812 ÷ 217
    48812 ÷ 131072     		x = 0.372406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81268 ÷ 217
    81268 ÷ 131072     		y = 0.620025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.25518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80169671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.24005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.754143304822723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80169671} λ = -0.80169671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754143304822723))-π/2
    2×atan(0.470413443083363)-π/2
    2×0.439699471341028-π/2
    0.879398942682055-1.57079632675     		φ = -0.69139738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80169671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.933838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69139738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.614152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48812 KachelY 81268 -0.80169671 -0.69139738 -45.933838 -39.614152
    Oben rechts KachelX + 1 48813 KachelY 81268 -0.80164877 -0.69139738 -45.931091 -39.614152
    Unten links KachelX 48812 KachelY + 1 81269 -0.80169671 -0.69143431 -45.933838 -39.616268
    Unten rechts KachelX + 1 48813 KachelY + 1 81269 -0.80164877 -0.69143431 -45.931091 -39.616268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69139738--0.69143431) × R
    3.69300000000461e-05 × 6371000     		dl = 235.281030000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69139738--0.69143431) × R
    3.69300000000461e-05 × 6371000     		dr = 235.281030000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80169671--0.80164877) × cos(-0.69139738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770355777964203 × 6371000     		do = 235.286483547838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80169671--0.80164877) × cos(-0.69143431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770332230343379 × 6371000     		du = 235.279291498323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69139738)-sin(-0.69143431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770355777964203-0.770332230343379)×R²
    abs(-0.80164877--0.80169671)×2.35476208236829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35476208236829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35476208236829e-05×40589641000000     		ar = 55357.6001242431m²