Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48811 / 81628
↖ ↑ ↗
← S 40.371659°
W 45.936585°		 ← 232.69 m → S 40.371659°
W 45.933838°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 40.373751°
W 45.936585°		 ← 232.68 m →
54 139 m²		 S 40.373751°
W 45.933838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372402191162109 y=0.622776031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372402191162109 × 217)
    floor (0.372402191162109 × 131072)
    floor (48811.5)     		tx = 48811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622776031494141 × 217)
    floor (0.622776031494141 × 131072)
    floor (81628.5)     		ty = 81628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48811 / 81628 ti = "17/48811/81628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48811/81628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48811 ÷ 217
    48811 ÷ 131072     		x = 0.372398376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81628 ÷ 217
    81628 ÷ 131072     		y = 0.622772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372398376464844 × 2 - 1) × π
    -0.255203247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.80174465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.24554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.771400588685944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80174465} λ = -0.80174465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771400588685944))-π/2
    2×atan(0.462365031368847)-π/2
    2×0.433088977331434-π/2
    0.866177954662869-1.57079632675     		φ = -0.70461837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80174465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.936585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70461837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.371659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48811 KachelY 81628 -0.80174465 -0.70461837 -45.936585 -40.371659
    Oben rechts KachelX + 1 48812 KachelY 81628 -0.80169671 -0.70461837 -45.933838 -40.371659
    Unten links KachelX 48811 KachelY + 1 81629 -0.80174465 -0.70465489 -45.936585 -40.373751
    Unten rechts KachelX + 1 48812 KachelY + 1 81629 -0.80169671 -0.70465489 -45.933838 -40.373751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70461837--0.70465489) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70461837--0.70465489) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80174465--0.80169671) × cos(-0.70461837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761858805445317 × 6371000     		do = 232.691289428499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80174465--0.80169671) × cos(-0.70465489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761835149358219 × 6371000     		du = 232.684064250592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70461837)-sin(-0.70465489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761858805445317-0.761835149358219)×R²
    abs(-0.80169671--0.80174465)×2.36560870983116e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36560870983116e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36560870983116e-05×40589641000000     		ar = 54139.1904734083m²