Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48811 / 81341
↖ ↑ ↗
← S 39.768436°
W 45.936585°		 ← 234.76 m → S 39.768436°
W 45.933838°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
S 39.770548°
W 45.936585°		 ← 234.75 m →
55 114 m²		 S 39.770548°
W 45.933838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372402191162109 y=0.620586395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372402191162109 × 217)
    floor (0.372402191162109 × 131072)
    floor (48811.5)     		tx = 48811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620586395263672 × 217)
    floor (0.620586395263672 × 131072)
    floor (81341.5)     		ty = 81341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48811 / 81341 ti = "17/48811/81341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48811/81341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48811 ÷ 217
    48811 ÷ 131072     		x = 0.372398376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81341 ÷ 217
    81341 ÷ 131072     		y = 0.620582580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372398376464844 × 2 - 1) × π
    -0.255203247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.80174465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620582580566406 × 2 - 1) × π
    -0.241165161132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.757642698494988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80174465} λ = -0.80174465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757642698494988))-π/2
    2×atan(0.468770158184616)-π/2
    2×0.438353086536207-π/2
    0.876706173072414-1.57079632675     		φ = -0.69409015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80174465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.936585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69409015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.768436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48811 KachelY 81341 -0.80174465 -0.69409015 -45.936585 -39.768436
    Oben rechts KachelX + 1 48812 KachelY 81341 -0.80169671 -0.69409015 -45.933838 -39.768436
    Unten links KachelX 48811 KachelY + 1 81342 -0.80174465 -0.69412700 -45.936585 -39.770548
    Unten rechts KachelX + 1 48812 KachelY + 1 81342 -0.80169671 -0.69412700 -45.933838 -39.770548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69409015--0.69412700) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dl = 234.771350000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69409015--0.69412700) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dr = 234.771350000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80174465--0.80169671) × cos(-0.69409015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768636038496054 × 6371000     		do = 234.761230848172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80174465--0.80169671) × cos(-0.69412700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768612465531786 × 6371000     		du = 234.754031058116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69409015)-sin(-0.69412700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768636038496054-0.768612465531786)×R²
    abs(-0.80169671--0.80174465)×2.3572964268026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3572964268026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3572964268026e-05×40589641000000     		ar = 55114.365948068m²