Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48807 / 81255
↖ ↑ ↗
← S 39.586641°
W 45.947571°		 ← 235.33 m → S 39.586641°
W 45.944824°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
S 39.588757°
W 45.947571°		 ← 235.32 m →
55 383 m²		 S 39.588757°
W 45.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372371673583984 y=0.619930267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372371673583984 × 217)
    floor (0.372371673583984 × 131072)
    floor (48807.5)     		tx = 48807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619930267333984 × 217)
    floor (0.619930267333984 × 131072)
    floor (81255.5)     		ty = 81255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48807 / 81255 ti = "17/48807/81255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48807/81255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48807 ÷ 217
    48807 ÷ 131072     		x = 0.372367858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81255 ÷ 217
    81255 ÷ 131072     		y = 0.619926452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372367858886719 × 2 - 1) × π
    -0.255264282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.80193639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619926452636719 × 2 - 1) × π
    -0.239852905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.753520125127663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80193639} λ = -0.80193639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753520125127663))-π/2
    2×atan(0.470706686551573)-π/2
    2×0.439939554065457-π/2
    0.879879108130915-1.57079632675     		φ = -0.69091722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80193639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.947571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69091722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.586641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48807 KachelY 81255 -0.80193639 -0.69091722 -45.947571 -39.586641
    Oben rechts KachelX + 1 48808 KachelY 81255 -0.80188846 -0.69091722 -45.944824 -39.586641
    Unten links KachelX 48807 KachelY + 1 81256 -0.80193639 -0.69095416 -45.947571 -39.588757
    Unten rechts KachelX + 1 48808 KachelY + 1 81256 -0.80188846 -0.69095416 -45.944824 -39.588757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69091722--0.69095416) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dl = 235.344739999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69091722--0.69095416) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dr = 235.344739999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80193639--0.80188846) × cos(-0.69091722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770661846022961 × 6371000     		do = 235.330865745263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80193639--0.80188846) × cos(-0.69095416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770638305692101 × 6371000     		du = 235.323677422045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69091722)-sin(-0.69095416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770661846022961-0.770638305692101)×R²
    abs(-0.80188846--0.80193639)×2.35403308597171e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35403308597171e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35403308597171e-05×40589641000000     		ar = 55383.0355520117m²