Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48806 / 81314
↖ ↑ ↗
← S 39.711413°
W 45.950317°		 ← 234.96 m → S 39.711413°
W 45.947571°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 39.713526°
W 45.950317°		 ← 234.95 m →
55 205 m²		 S 39.713526°
W 45.947571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372364044189453 y=0.620380401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372364044189453 × 217)
    floor (0.372364044189453 × 131072)
    floor (48806.5)     		tx = 48806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620380401611328 × 217)
    floor (0.620380401611328 × 131072)
    floor (81314.5)     		ty = 81314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48806 / 81314 ti = "17/48806/81314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48806/81314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48806 ÷ 217
    48806 ÷ 131072     		x = 0.372360229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81314 ÷ 217
    81314 ÷ 131072     		y = 0.620376586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372360229492188 × 2 - 1) × π
    -0.255279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80198433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620376586914062 × 2 - 1) × π
    -0.240753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.756348402205246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80198433} λ = -0.80198433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756348402205246))-π/2
    2×atan(0.46937727847311)-π/2
    2×0.438850713814213-π/2
    0.877701427628427-1.57079632675     		φ = -0.69309490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80198433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.950317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69309490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.711413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48806 KachelY 81314 -0.80198433 -0.69309490 -45.950317 -39.711413
    Oben rechts KachelX + 1 48807 KachelY 81314 -0.80193639 -0.69309490 -45.947571 -39.711413
    Unten links KachelX 48806 KachelY + 1 81315 -0.80198433 -0.69313178 -45.950317 -39.713526
    Unten rechts KachelX + 1 48807 KachelY + 1 81315 -0.80193639 -0.69313178 -45.947571 -39.713526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69309490--0.69313178) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69309490--0.69313178) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80198433--0.80193639) × cos(-0.69309490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769272305566002 × 6371000     		do = 234.955563188848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80198433--0.80193639) × cos(-0.69313178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769248741634187 × 6371000     		du = 234.948366157536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69309490)-sin(-0.69313178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769272305566002-0.769248741634187)×R²
    abs(-0.80193639--0.80198433)×2.35639318149072e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35639318149072e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35639318149072e-05×40589641000000     		ar = 55204.8963068596m²