Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48805 / 81315
↖ ↑ ↗
← S 39.713526°
W 45.953064°		 ← 234.95 m → S 39.713526°
W 45.950317°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
S 39.715638°
W 45.953064°		 ← 234.94 m →
55 188 m²		 S 39.715638°
W 45.950317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372356414794922 y=0.620388031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372356414794922 × 217)
    floor (0.372356414794922 × 131072)
    floor (48805.5)     		tx = 48805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620388031005859 × 217)
    floor (0.620388031005859 × 131072)
    floor (81315.5)     		ty = 81315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48805 / 81315 ti = "17/48805/81315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48805/81315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48805 ÷ 217
    48805 ÷ 131072     		x = 0.372352600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81315 ÷ 217
    81315 ÷ 131072     		y = 0.620384216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372352600097656 × 2 - 1) × π
    -0.255294799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.80203227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620384216308594 × 2 - 1) × π
    -0.240768432617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.756396339104866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80203227} λ = -0.80203227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756396339104866))-π/2
    2×atan(0.469354778520921)-π/2
    2×0.438832275831918-π/2
    0.877664551663836-1.57079632675     		φ = -0.69313178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80203227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.953064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69313178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.713526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48805 KachelY 81315 -0.80203227 -0.69313178 -45.953064 -39.713526
    Oben rechts KachelX + 1 48806 KachelY 81315 -0.80198433 -0.69313178 -45.950317 -39.713526
    Unten links KachelX 48805 KachelY + 1 81316 -0.80203227 -0.69316865 -45.953064 -39.715638
    Unten rechts KachelX + 1 48806 KachelY + 1 81316 -0.80198433 -0.69316865 -45.950317 -39.715638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69313178--0.69316865) × R
    3.68700000000777e-05 × 6371000     		dl = 234.898770000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69313178--0.69316865) × R
    3.68700000000777e-05 × 6371000     		dr = 234.898770000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80203227--0.80198433) × cos(-0.69313178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769248741634187 × 6371000     		do = 234.948366157536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80203227--0.80198433) × cos(-0.69316865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769225183045869 × 6371000     		du = 234.941170758266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69313178)-sin(-0.69316865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769248741634187-0.769225183045869)×R²
    abs(-0.80198433--0.80203227)×2.35585883185951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35585883185951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35585883185951e-05×40589641000000     		ar = 55188.2371350904m²