Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48804 / 81444
↖ ↑ ↗
← S 39.985539°
W 45.955810°		 ← 233.97 m → S 39.985539°
W 45.953064°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
S 39.987643°
W 45.955810°		 ← 233.96 m →
54 750 m²		 S 39.987643°
W 45.953064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372348785400391 y=0.621372222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372348785400391 × 217)
    floor (0.372348785400391 × 131072)
    floor (48804.5)     		tx = 48804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621372222900391 × 217)
    floor (0.621372222900391 × 131072)
    floor (81444.5)     		ty = 81444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48804 / 81444 ti = "17/48804/81444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48804/81444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48804 ÷ 217
    48804 ÷ 131072     		x = 0.372344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81444 ÷ 217
    81444 ÷ 131072     		y = 0.621368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.25531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80208020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.24273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.762580199155853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80208020} λ = -0.80208020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762580199155853))-π/2
    2×atan(0.4664613098794)-π/2
    2×0.436458514145246-π/2
    0.872917028290493-1.57079632675     		φ = -0.69787930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80208020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.955810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69787930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.985539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48804 KachelY 81444 -0.80208020 -0.69787930 -45.955810 -39.985539
    Oben rechts KachelX + 1 48805 KachelY 81444 -0.80203227 -0.69787930 -45.953064 -39.985539
    Unten links KachelX 48804 KachelY + 1 81445 -0.80208020 -0.69791603 -45.955810 -39.987643
    Unten rechts KachelX + 1 48805 KachelY + 1 81445 -0.80203227 -0.69791603 -45.953064 -39.987643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69787930--0.69791603) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69787930--0.69791603) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80208020--0.80203227) × cos(-0.69787930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766206658821837 × 6371000     		do = 233.970420737497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80208020--0.80203227) × cos(-0.69791603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766183055818602 × 6371000     		du = 233.963213276515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69787930)-sin(-0.69791603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766206658821837-0.766183055818602)×R²
    abs(-0.80203227--0.80208020)×2.36030032345624e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36030032345624e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36030032345624e-05×40589641000000     		ar = 54749.8331792195m²