Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48803 / 81348
↖ ↑ ↗
← S 39.783213°
W 45.958557°		 ← 234.71 m → S 39.783213°
W 45.955810°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
S 39.785324°
W 45.958557°		 ← 234.70 m →
55 088 m²		 S 39.785324°
W 45.955810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372341156005859 y=0.620639801025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372341156005859 × 217)
    floor (0.372341156005859 × 131072)
    floor (48803.5)     		tx = 48803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620639801025391 × 217)
    floor (0.620639801025391 × 131072)
    floor (81348.5)     		ty = 81348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48803 / 81348 ti = "17/48803/81348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48803/81348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48803 ÷ 217
    48803 ÷ 131072     		x = 0.372337341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81348 ÷ 217
    81348 ÷ 131072     		y = 0.620635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372337341308594 × 2 - 1) × π
    -0.255325317382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.80212814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.24127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.757978256792328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80212814} λ = -0.80212814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757978256792328))-π/2
    2×atan(0.468612884857152)-π/2
    2×0.438224139277753-π/2
    0.876448278555506-1.57079632675     		φ = -0.69434805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80212814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.958557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69434805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.783213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48803 KachelY 81348 -0.80212814 -0.69434805 -45.958557 -39.783213
    Oben rechts KachelX + 1 48804 KachelY 81348 -0.80208020 -0.69434805 -45.955810 -39.783213
    Unten links KachelX 48803 KachelY + 1 81349 -0.80212814 -0.69438489 -45.958557 -39.785324
    Unten rechts KachelX + 1 48804 KachelY + 1 81349 -0.80208020 -0.69438489 -45.955810 -39.785324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69434805--0.69438489) × R
    3.6840000000038e-05 × 6371000     		dl = 234.707640000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69434805--0.69438489) × R
    3.6840000000038e-05 × 6371000     		dr = 234.707640000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80212814--0.80208020) × cos(-0.69434805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768471037823488 × 6371000     		do = 234.710835395653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80212814--0.80208020) × cos(-0.69438489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768447463954424 × 6371000     		du = 234.703635329249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69434805)-sin(-0.69438489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768471037823488-0.768447463954424)×R²
    abs(-0.80208020--0.80212814)×2.35738690641529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35738690641529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35738690641529e-05×40589641000000     		ar = 55087.5813091514m²