Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48799 / 81698
↖ ↑ ↗
← S 40.517975°
W 45.969544°		 ← 232.19 m → S 40.517975°
W 45.966797°		 →
↑
232.16 m
↓
↑
232.16 m
↓
S 40.520063°
W 45.969544°		 ← 232.18 m →
53 903 m²		 S 40.520063°
W 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372310638427734 y=0.623310089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372310638427734 × 217)
    floor (0.372310638427734 × 131072)
    floor (48799.5)     		tx = 48799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623310089111328 × 217)
    floor (0.623310089111328 × 131072)
    floor (81698.5)     		ty = 81698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48799 / 81698 ti = "17/48799/81698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48799/81698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48799 ÷ 217
    48799 ÷ 131072     		x = 0.372306823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81698 ÷ 217
    81698 ÷ 131072     		y = 0.623306274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372306823730469 × 2 - 1) × π
    -0.255386352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.80231989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623306274414062 × 2 - 1) × π
    -0.246612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.774756171659348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80231989} λ = -0.80231989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774756171659348))-π/2
    2×atan(0.460816127333473)-π/2
    2×0.431812126661771-π/2
    0.863624253323542-1.57079632675     		φ = -0.70717207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80231989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.969544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70717207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.517975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48799 KachelY 81698 -0.80231989 -0.70717207 -45.969544 -40.517975
    Oben rechts KachelX + 1 48800 KachelY 81698 -0.80227195 -0.70717207 -45.966797 -40.517975
    Unten links KachelX 48799 KachelY + 1 81699 -0.80231989 -0.70720851 -45.969544 -40.520063
    Unten rechts KachelX + 1 48800 KachelY + 1 81699 -0.80227195 -0.70720851 -45.966797 -40.520063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70717207--0.70720851) × R
    3.64399999999154e-05 × 6371000     		dl = 232.159239999461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70717207--0.70720851) × R
    3.64399999999154e-05 × 6371000     		dr = 232.159239999461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80231989--0.80227195) × cos(-0.70717207) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.760202181430412 × 6371000     		do = 232.185313813383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80231989--0.80227195) × cos(-0.70720851) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.760178506346965 × 6371000     		du = 232.178082833502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70717207)-sin(-0.70720851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760202181430412-0.760178506346965)×R²
    abs(-0.80227195--0.80231989)×2.36750834469168e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36750834469168e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36750834469168e-05×40589641000000     		ar = 53903.1266304674m²