Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48796 / 81049
↖ ↑ ↗
← S 39.149233°
W 45.977783°		 ← 236.86 m → S 39.149233°
W 45.975036°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
S 39.151363°
W 45.977783°		 ← 236.85 m →
56 105 m²		 S 39.151363°
W 45.975036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372287750244141 y=0.618358612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372287750244141 × 217)
    floor (0.372287750244141 × 131072)
    floor (48796.5)     		tx = 48796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618358612060547 × 217)
    floor (0.618358612060547 × 131072)
    floor (81049.5)     		ty = 81049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48796 / 81049 ti = "17/48796/81049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48796/81049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48796 ÷ 217
    48796 ÷ 131072     		x = 0.372283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81049 ÷ 217
    81049 ÷ 131072     		y = 0.618354797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.25543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80246370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618354797363281 × 2 - 1) × π
    -0.236709594726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.743645123805931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80246370} λ = -0.80246370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743645123805931))-π/2
    2×atan(0.475377942070649)-π/2
    2×0.443756658058091-π/2
    0.887513316116182-1.57079632675     		φ = -0.68328301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80246370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.977783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68328301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.149233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48796 KachelY 81049 -0.80246370 -0.68328301 -45.977783 -39.149233
    Oben rechts KachelX + 1 48797 KachelY 81049 -0.80241576 -0.68328301 -45.975036 -39.149233
    Unten links KachelX 48796 KachelY + 1 81050 -0.80246370 -0.68332019 -45.977783 -39.151363
    Unten rechts KachelX + 1 48797 KachelY + 1 81050 -0.80241576 -0.68332019 -45.975036 -39.151363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68328301--0.68332019) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dl = 236.873779999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68328301--0.68332019) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dr = 236.873779999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80246370--0.80241576) × cos(-0.68328301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77550419827768 × 6371000     		do = 236.858943631912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80246370--0.80241576) × cos(-0.68332019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775480724430878 × 6371000     		du = 236.851774114882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68328301)-sin(-0.68332019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77550419827768-0.775480724430878)×R²
    abs(-0.80241576--0.80246370)×2.34738468021245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34738468021245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34738468021245e-05×40589641000000     		ar = 56104.8241759943m²