Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48793 / 81287
↖ ↑ ↗
← S 39.654341°
W 45.986023°		 ← 235.15 m → S 39.654341°
W 45.983276°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
S 39.656456°
W 45.986023°		 ← 235.14 m →
55 295 m²		 S 39.656456°
W 45.983276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372264862060547 y=0.620174407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372264862060547 × 217)
    floor (0.372264862060547 × 131072)
    floor (48793.5)     		tx = 48793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620174407958984 × 217)
    floor (0.620174407958984 × 131072)
    floor (81287.5)     		ty = 81287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48793 / 81287 ti = "17/48793/81287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48793/81287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48793 ÷ 217
    48793 ÷ 131072     		x = 0.372261047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81287 ÷ 217
    81287 ÷ 131072     		y = 0.620170593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372261047363281 × 2 - 1) × π
    -0.255477905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.80260751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620170593261719 × 2 - 1) × π
    -0.240341186523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.755054105915504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80260751} λ = -0.80260751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755054105915504))-π/2
    2×atan(0.469985185063885)-π/2
    2×0.439348752776764-π/2
    0.878697505553527-1.57079632675     		φ = -0.69209882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80260751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.986023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69209882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.654341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48793 KachelY 81287 -0.80260751 -0.69209882 -45.986023 -39.654341
    Oben rechts KachelX + 1 48794 KachelY 81287 -0.80255957 -0.69209882 -45.983276 -39.654341
    Unten links KachelX 48793 KachelY + 1 81288 -0.80260751 -0.69213573 -45.986023 -39.656456
    Unten rechts KachelX + 1 48794 KachelY + 1 81288 -0.80255957 -0.69213573 -45.983276 -39.656456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69209882--0.69213573) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dl = 235.153609999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69209882--0.69213573) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dr = 235.153609999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80260751--0.80255957) × cos(-0.69209882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769908340322926 × 6371000     		do = 235.149824575147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80260751--0.80255957) × cos(-0.69213573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769884785516426 × 6371000     		du = 235.142630330942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69209882)-sin(-0.69213573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769908340322926-0.769884785516426)×R²
    abs(-0.80255957--0.80260751)×2.35548064999591e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35548064999591e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35548064999591e-05×40589641000000     		ar = 55295.4842695699m²