Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48793 / 81048
↖ ↑ ↗
← S 39.147102°
W 45.986023°		 ← 236.87 m → S 39.147102°
W 45.983276°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
S 39.149233°
W 45.986023°		 ← 236.86 m →
56 107 m²		 S 39.149233°
W 45.983276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372264862060547 y=0.618350982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372264862060547 × 217)
    floor (0.372264862060547 × 131072)
    floor (48793.5)     		tx = 48793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618350982666016 × 217)
    floor (0.618350982666016 × 131072)
    floor (81048.5)     		ty = 81048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48793 / 81048 ti = "17/48793/81048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48793/81048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48793 ÷ 217
    48793 ÷ 131072     		x = 0.372261047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81048 ÷ 217
    81048 ÷ 131072     		y = 0.61834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372261047363281 × 2 - 1) × π
    -0.255477905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.80260751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61834716796875 × 2 - 1) × π
    -0.2366943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.743597186906311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80260751} λ = -0.80260751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743597186906311))-π/2
    2×atan(0.475400730761544)-π/2
    2×0.443775245972807-π/2
    0.887550491945614-1.57079632675     		φ = -0.68324583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80260751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.986023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68324583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.147102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48793 KachelY 81048 -0.80260751 -0.68324583 -45.986023 -39.147102
    Oben rechts KachelX + 1 48794 KachelY 81048 -0.80255957 -0.68324583 -45.983276 -39.147102
    Unten links KachelX 48793 KachelY + 1 81049 -0.80260751 -0.68328301 -45.986023 -39.149233
    Unten rechts KachelX + 1 48794 KachelY + 1 81049 -0.80255957 -0.68328301 -45.983276 -39.149233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68324583--0.68328301) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dl = 236.873779999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68324583--0.68328301) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dr = 236.873779999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80260751--0.80255957) × cos(-0.68324583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775527671052463 × 6371000     		do = 236.86611282152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80260751--0.80255957) × cos(-0.68328301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77550419827768 × 6371000     		du = 236.858943631912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68324583)-sin(-0.68328301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775527671052463-0.77550419827768)×R²
    abs(-0.80255957--0.80260751)×2.34727747820962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34727747820962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34727747820962e-05×40589641000000     		ar = 56106.5224077464m²