Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48792 / 81304
↖ ↑ ↗
← S 39.690281°
W 45.988770°		 ← 235.03 m → S 39.690281°
W 45.986023°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 39.692394°
W 45.988770°		 ← 235.02 m →
55 222 m²		 S 39.692394°
W 45.986023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372257232666016 y=0.620304107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372257232666016 × 217)
    floor (0.372257232666016 × 131072)
    floor (48792.5)     		tx = 48792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620304107666016 × 217)
    floor (0.620304107666016 × 131072)
    floor (81304.5)     		ty = 81304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48792 / 81304 ti = "17/48792/81304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48792/81304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48792 ÷ 217
    48792 ÷ 131072     		x = 0.37225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81304 ÷ 217
    81304 ÷ 131072     		y = 0.62030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.2554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80265545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62030029296875 × 2 - 1) × π
    -0.2406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.755869033209045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80265545} λ = -0.80265545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755869033209045))-π/2
    2×atan(0.469602337326739)-π/2
    2×0.439035124695767-π/2
    0.878070249391533-1.57079632675     		φ = -0.69272608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80265545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.988770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69272608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.690281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48792 KachelY 81304 -0.80265545 -0.69272608 -45.988770 -39.690281
    Oben rechts KachelX + 1 48793 KachelY 81304 -0.80260751 -0.69272608 -45.986023 -39.690281
    Unten links KachelX 48792 KachelY + 1 81305 -0.80265545 -0.69276296 -45.988770 -39.692394
    Unten rechts KachelX + 1 48793 KachelY + 1 81305 -0.80260751 -0.69276296 -45.986023 -39.692394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69272608--0.69276296) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69272608--0.69276296) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80265545--0.80260751) × cos(-0.69272608) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.769507900104354 × 6371000     		do = 235.027519825609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80265545--0.80260751) × cos(-0.69276296) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.769484346637686 × 6371000     		du = 235.020325990622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69272608)-sin(-0.69276296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769507900104354-0.769484346637686)×R²
    abs(-0.80260751--0.80265545)×2.3553466668047e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3553466668047e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3553466668047e-05×40589641000000     		ar = 55221.803792256m²