Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48791 / 81275
↖ ↑ ↗
← S 39.628962°
W 45.991516°		 ← 235.19 m → S 39.628962°
W 45.988770°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
S 39.631077°
W 45.991516°		 ← 235.18 m →
55 319 m²		 S 39.631077°
W 45.988770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372249603271484 y=0.620082855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372249603271484 × 217)
    floor (0.372249603271484 × 131072)
    floor (48791.5)     		tx = 48791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620082855224609 × 217)
    floor (0.620082855224609 × 131072)
    floor (81275.5)     		ty = 81275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48791 / 81275 ti = "17/48791/81275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48791/81275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48791 ÷ 217
    48791 ÷ 131072     		x = 0.372245788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81275 ÷ 217
    81275 ÷ 131072     		y = 0.620079040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372245788574219 × 2 - 1) × π
    -0.255508422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.80270338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620079040527344 × 2 - 1) × π
    -0.240158081054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.754478863120064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80270338} λ = -0.80270338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754478863120064))-π/2
    2×atan(0.470255618430522)-π/2
    2×0.439570235532238-π/2
    0.879140471064475-1.57079632675     		φ = -0.69165586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80270338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.991516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69165586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.628962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48791 KachelY 81275 -0.80270338 -0.69165586 -45.991516 -39.628962
    Oben rechts KachelX + 1 48792 KachelY 81275 -0.80265545 -0.69165586 -45.988770 -39.628962
    Unten links KachelX 48791 KachelY + 1 81276 -0.80270338 -0.69169278 -45.991516 -39.631077
    Unten rechts KachelX + 1 48792 KachelY + 1 81276 -0.80265545 -0.69169278 -45.988770 -39.631077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69165586--0.69169278) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69165586--0.69169278) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80270338--0.80265545) × cos(-0.69165586) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.770190941691399 × 6371000     		do = 235.187069442096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80270338--0.80265545) × cos(-0.69169278) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.770167393096334 × 6371000     		du = 235.179878595304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69165586)-sin(-0.69169278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770190941691399-0.770167393096334)×R²
    abs(-0.80265545--0.80270338)×2.35485950655923e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35485950655923e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35485950655923e-05×40589641000000     		ar = 55319.2264731939m²