Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48790 / 81322
↖ ↑ ↗
← S 39.728314°
W 45.994263°		 ← 234.90 m → S 39.728314°
W 45.991516°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 39.730426°
W 45.994263°		 ← 234.89 m →
55 161 m²		 S 39.730426°
W 45.991516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372241973876953 y=0.620441436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372241973876953 × 217)
    floor (0.372241973876953 × 131072)
    floor (48790.5)     		tx = 48790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620441436767578 × 217)
    floor (0.620441436767578 × 131072)
    floor (81322.5)     		ty = 81322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48790 / 81322 ti = "17/48790/81322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48790/81322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48790 ÷ 217
    48790 ÷ 131072     		x = 0.372238159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81322 ÷ 217
    81322 ÷ 131072     		y = 0.620437622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372238159179688 × 2 - 1) × π
    -0.255523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80275132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620437622070312 × 2 - 1) × π
    -0.240875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756731897402206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80275132} λ = -0.80275132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756731897402206))-π/2
    2×atan(0.469197309052163)-π/2
    2×0.438703225768812-π/2
    0.877406451537624-1.57079632675     		φ = -0.69338988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80275132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.994263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69338988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.728314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48790 KachelY 81322 -0.80275132 -0.69338988 -45.994263 -39.728314
    Oben rechts KachelX + 1 48791 KachelY 81322 -0.80270338 -0.69338988 -45.991516 -39.728314
    Unten links KachelX 48790 KachelY + 1 81323 -0.80275132 -0.69342674 -45.994263 -39.730426
    Unten rechts KachelX + 1 48791 KachelY + 1 81323 -0.80270338 -0.69342674 -45.991516 -39.730426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69338988--0.69342674) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69338988--0.69342674) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80275132--0.80270338) × cos(-0.69338988) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.76908380316627 × 6371000     		do = 234.897989704462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80275132--0.80270338) × cos(-0.69342674) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.769060243650327 × 6371000     		du = 234.890794021872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69338988)-sin(-0.69342674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76908380316627-0.769060243650327)×R²
    abs(-0.80270338--0.80275132)×2.35595159427948e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35595159427948e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35595159427948e-05×40589641000000     		ar = 55161.438613265m²