Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48789 / 81236
↖ ↑ ↗
← S 39.546412°
W 45.997009°		 ← 235.52 m → S 39.546412°
W 45.994263°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 39.548530°
W 45.997009°		 ← 235.51 m →
55 457 m²		 S 39.548530°
W 45.994263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372234344482422 y=0.619785308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372234344482422 × 217)
    floor (0.372234344482422 × 131072)
    floor (48789.5)     		tx = 48789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619785308837891 × 217)
    floor (0.619785308837891 × 131072)
    floor (81236.5)     		ty = 81236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48789 / 81236 ti = "17/48789/81236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48789/81236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48789 ÷ 217
    48789 ÷ 131072     		x = 0.372230529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81236 ÷ 217
    81236 ÷ 131072     		y = 0.619781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372230529785156 × 2 - 1) × π
    -0.255538940429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.80279926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.23956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.752609324034882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80279926} λ = -0.80279926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752609324034882))-π/2
    2×atan(0.471135602014749)-π/2
    2×0.44029061573151-π/2
    0.880581231463019-1.57079632675     		φ = -0.69021510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80279926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.997009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69021510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.546412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48789 KachelY 81236 -0.80279926 -0.69021510 -45.997009 -39.546412
    Oben rechts KachelX + 1 48790 KachelY 81236 -0.80275132 -0.69021510 -45.994263 -39.546412
    Unten links KachelX 48789 KachelY + 1 81237 -0.80279926 -0.69025206 -45.997009 -39.548530
    Unten rechts KachelX + 1 48790 KachelY + 1 81237 -0.80275132 -0.69025206 -45.994263 -39.548530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69021510--0.69025206) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69021510--0.69025206) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80279926--0.80275132) × cos(-0.69021510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771109078008257 × 6371000     		do = 235.516560771235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80279926--0.80275132) × cos(-0.69025206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771085544936389 × 6371000     		du = 235.509373165345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69021510)-sin(-0.69025206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771109078008257-0.771085544936389)×R²
    abs(-0.80275132--0.80279926)×2.35330718686422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35330718686422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35330718686422e-05×40589641000000     		ar = 55456.747046253m²