Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48788 / 81316
↖ ↑ ↗
← S 39.715638°
W 45.999756°		 ← 234.89 m → S 39.715638°
W 45.997009°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
S 39.717751°
W 45.999756°		 ← 234.88 m →
55 175 m²		 S 39.717751°
W 45.997009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372226715087891 y=0.620395660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372226715087891 × 217)
    floor (0.372226715087891 × 131072)
    floor (48788.5)     		tx = 48788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620395660400391 × 217)
    floor (0.620395660400391 × 131072)
    floor (81316.5)     		ty = 81316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48788 / 81316 ti = "17/48788/81316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48788/81316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48788 ÷ 217
    48788 ÷ 131072     		x = 0.372222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81316 ÷ 217
    81316 ÷ 131072     		y = 0.620391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.25555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80284719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.24078369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756444276004486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80284719} λ = -0.80284719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756444276004486))-π/2
    2×atan(0.469332279647284)-π/2
    2×0.438813838414356-π/2
    0.877627676828712-1.57079632675     		φ = -0.69316865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80284719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.999756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69316865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.715638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48788 KachelY 81316 -0.80284719 -0.69316865 -45.999756 -39.715638
    Oben rechts KachelX + 1 48789 KachelY 81316 -0.80279926 -0.69316865 -45.997009 -39.715638
    Unten links KachelX 48788 KachelY + 1 81317 -0.80284719 -0.69320552 -45.999756 -39.717751
    Unten rechts KachelX + 1 48789 KachelY + 1 81317 -0.80279926 -0.69320552 -45.997009 -39.717751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69316865--0.69320552) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dl = 234.898769999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69316865--0.69320552) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dr = 234.898769999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80284719--0.80279926) × cos(-0.69316865) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769225183045869 × 6371000     		do = 234.892163422152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80284719--0.80279926) × cos(-0.69320552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769201623411868 × 6371000     		du = 234.884969204487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69316865)-sin(-0.69320552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769225183045869-0.769201623411868)×R²
    abs(-0.80279926--0.80284719)×2.35596340008026e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35596340008026e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35596340008026e-05×40589641000000     		ar = 55175.0353203053m²