Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48787 / 81274
↖ ↑ ↗
← S 39.626846°
W 46.002502°		 ← 235.24 m → S 39.626846°
W 45.999756°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
S 39.628962°
W 46.002502°		 ← 235.24 m →
55 347 m²		 S 39.628962°
W 45.999756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372219085693359 y=0.620075225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372219085693359 × 217)
    floor (0.372219085693359 × 131072)
    floor (48787.5)     		tx = 48787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620075225830078 × 217)
    floor (0.620075225830078 × 131072)
    floor (81274.5)     		ty = 81274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48787 / 81274 ti = "17/48787/81274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48787/81274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48787 ÷ 217
    48787 ÷ 131072     		x = 0.372215270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81274 ÷ 217
    81274 ÷ 131072     		y = 0.620071411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372215270996094 × 2 - 1) × π
    -0.255569458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.80289513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620071411132812 × 2 - 1) × π
    -0.240142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.754430926220444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80289513} λ = -0.80289513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754430926220444))-π/2
    2×atan(0.470278161567219)-π/2
    2×0.439588696097441-π/2
    0.879177392194882-1.57079632675     		φ = -0.69161893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80289513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.002502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69161893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.626846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48787 KachelY 81274 -0.80289513 -0.69161893 -46.002502 -39.626846
    Oben rechts KachelX + 1 48788 KachelY 81274 -0.80284719 -0.69161893 -45.999756 -39.626846
    Unten links KachelX 48787 KachelY + 1 81275 -0.80289513 -0.69165586 -46.002502 -39.628962
    Unten rechts KachelX + 1 48788 KachelY + 1 81275 -0.80284719 -0.69165586 -45.999756 -39.628962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69161893--0.69165586) × R
    3.69300000000461e-05 × 6371000     		dl = 235.281030000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69161893--0.69165586) × R
    3.69300000000461e-05 × 6371000     		dr = 235.281030000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80289513--0.80284719) × cos(-0.69161893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770214495614478 × 6371000     		do = 235.243332281624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80289513--0.80284719) × cos(-0.69165586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770190941691399 × 6371000     		du = 235.236138307238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69161893)-sin(-0.69165586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770214495614478-0.770190941691399)×R²
    abs(-0.80284719--0.80289513)×2.355392307829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.355392307829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.355392307829e-05×40589641000000     		ar = 55347.4472235001m²