Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48786 / 81234
↖ ↑ ↗
← S 39.542176°
W 46.005249°		 ← 235.53 m → S 39.542176°
W 46.002502°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
S 39.544294°
W 46.005249°		 ← 235.52 m →
55 475 m²		 S 39.544294°
W 46.002502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372211456298828 y=0.619770050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372211456298828 × 217)
    floor (0.372211456298828 × 131072)
    floor (48786.5)     		tx = 48786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619770050048828 × 217)
    floor (0.619770050048828 × 131072)
    floor (81234.5)     		ty = 81234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48786 / 81234 ti = "17/48786/81234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48786/81234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48786 ÷ 217
    48786 ÷ 131072     		x = 0.372207641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81234 ÷ 217
    81234 ÷ 131072     		y = 0.619766235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372207641601562 × 2 - 1) × π
    -0.255584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80294307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619766235351562 × 2 - 1) × π
    -0.239532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.752513450235642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80294307} λ = -0.80294307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752513450235642))-π/2
    2×atan(0.47118077374023)-π/2
    2×0.440327581438327-π/2
    0.880655162876654-1.57079632675     		φ = -0.69014116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80294307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.005249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69014116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.542176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48786 KachelY 81234 -0.80294307 -0.69014116 -46.005249 -39.542176
    Oben rechts KachelX + 1 48787 KachelY 81234 -0.80289513 -0.69014116 -46.002502 -39.542176
    Unten links KachelX 48786 KachelY + 1 81235 -0.80294307 -0.69017813 -46.005249 -39.544294
    Unten rechts KachelX + 1 48787 KachelY + 1 81235 -0.80289513 -0.69017813 -46.002502 -39.544294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69014116--0.69017813) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dl = 235.535869999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69014116--0.69017813) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dr = 235.535869999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80294307--0.80289513) × cos(-0.69014116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771156153724782 × 6371000     		do = 235.530938906791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80294307--0.80289513) × cos(-0.69017813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771132616393505 × 6371000     		du = 235.523749999968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69014116)-sin(-0.69017813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771156153724782-0.771132616393505)×R²
    abs(-0.80289513--0.80294307)×2.35373312776899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35373312776899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35373312776899e-05×40589641000000     		ar = 55475.1379908863m²