Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48784 / 82544
↖ ↑ ↗
← S 42.261049°
W 46.010742°		 ← 225.99 m → S 42.261049°
W 46.007996°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
S 42.263082°
W 46.010742°		 ← 225.99 m →
51 084 m²		 S 42.263082°
W 46.007996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372196197509766 y=0.629764556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372196197509766 × 217)
    floor (0.372196197509766 × 131072)
    floor (48784.5)     		tx = 48784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629764556884766 × 217)
    floor (0.629764556884766 × 131072)
    floor (82544.5)     		ty = 82544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48784 / 82544 ti = "17/48784/82544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48784/82544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48784 ÷ 217
    48784 ÷ 131072     		x = 0.3721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82544 ÷ 217
    82544 ÷ 131072     		y = 0.6297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80303894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6297607421875 × 2 - 1) × π
    -0.259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.815310788737915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80303894} λ = -0.80303894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815310788737915))-π/2
    2×atan(0.442501781418421)-π/2
    2×0.416600936793033-π/2
    0.833201873586066-1.57079632675     		φ = -0.73759445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80303894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73759445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.261049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48784 KachelY 82544 -0.80303894 -0.73759445 -46.010742 -42.261049
    Oben rechts KachelX + 1 48785 KachelY 82544 -0.80299101 -0.73759445 -46.007996 -42.261049
    Unten links KachelX 48784 KachelY + 1 82545 -0.80303894 -0.73762993 -46.010742 -42.263082
    Unten rechts KachelX + 1 48785 KachelY + 1 82545 -0.80299101 -0.73762993 -46.007996 -42.263082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73759445--0.73762993) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73759445--0.73762993) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80303894--0.80299101) × cos(-0.73759445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74008845381485 × 6371000     		do = 225.994912636602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80303894--0.80299101) × cos(-0.73762993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.740064592710576 × 6371000     		du = 225.987626361363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73759445)-sin(-0.73762993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74008845381485-0.740064592710576)×R²
    abs(-0.80299101--0.80303894)×2.38611042744363e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38611042744363e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38611042744363e-05×40589641000000     		ar = 51083.7626159241m²