Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48784 / 81328
↖ ↑ ↗
← S 39.740986°
W 46.010742°		 ← 234.81 m → S 39.740986°
W 46.007996°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 39.743098°
W 46.010742°		 ← 234.80 m →
55 140 m²		 S 39.743098°
W 46.007996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372196197509766 y=0.620487213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372196197509766 × 217)
    floor (0.372196197509766 × 131072)
    floor (48784.5)     		tx = 48784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620487213134766 × 217)
    floor (0.620487213134766 × 131072)
    floor (81328.5)     		ty = 81328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48784 / 81328 ti = "17/48784/81328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48784/81328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48784 ÷ 217
    48784 ÷ 131072     		x = 0.3721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81328 ÷ 217
    81328 ÷ 131072     		y = 0.6204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80303894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.757019518799927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80303894} λ = -0.80303894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757019518799927))-π/2
    2×atan(0.46906237727189)-π/2
    2×0.438592633455612-π/2
    0.877185266911223-1.57079632675     		φ = -0.69361106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80303894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69361106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.740986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48784 KachelY 81328 -0.80303894 -0.69361106 -46.010742 -39.740986
    Oben rechts KachelX + 1 48785 KachelY 81328 -0.80299101 -0.69361106 -46.007996 -39.740986
    Unten links KachelX 48784 KachelY + 1 81329 -0.80303894 -0.69364792 -46.010742 -39.743098
    Unten rechts KachelX + 1 48785 KachelY + 1 81329 -0.80299101 -0.69364792 -46.007996 -39.743098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69361106--0.69364792) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69361106--0.69364792) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80303894--0.80299101) × cos(-0.69361106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768942417611527 × 6371000     		do = 234.805817595107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80303894--0.80299101) × cos(-0.69364792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768918851826151 × 6371000     		du = 234.798621499046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69361106)-sin(-0.69364792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768942417611527-0.768918851826151)×R²
    abs(-0.80299101--0.80303894)×2.35657853759896e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35657853759896e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35657853759896e-05×40589641000000     		ar = 55139.7933217514m²